お世話になります。
以下の条件下で、太郎くんが賭けごとを継続していく際、どのような賭けかたが好ましいでしょうか。
①最初の手持ち金100
②手持ち金は全て賭ける
③賭け先無数
④勝つ確率は賭け先ごとに75%
⑤勝つと+10%の利益、負けると-10%の損失
この場合、賭け先a,b,c...に手持ち金を分散させるべきなのか、一つに集中するべきなのか、どちらでも期待値?は変わらないのか、わかりません。

小〜中学の数学レベルかと思いますが、数学的な見地からお答えいただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

1箇所に全て賭けるとすると、


75%の確率で+10%
25%の確率で-10%
よって期待値は0.75*1.1+0.25*0.9=0.825+0.225=1.050

2箇所(a,b)にA:1-Aで分散させるとすると、それぞれの期待値は1.05のままなので、
A*1.05+(1-A)*1.05=(A+1-A)*1.05=1.05
となり、期待値に変化はありません。

3箇所、4箇所…N箇所となっても、
(A+B+C+D+…+N+(1-(A+B+C+D+…+N)))*1.05=1.05
となり同様です。

1箇所にかけると、勝った時大きいですが、負けた時も大きいです。
多数に分けてかけると、ほぼ期待値に近い結果となるでしょう。
この場合期待値が1よりも大きいので、賭ける回数が無制限であるなら、可能な限り分けて、確実に増やしていくのがよろしいかと。
回数が決まっているなら、1箇所に賭けてハイリスクハイリターンとするか、分配してローリスクローリターンとするか、お好みでどうぞ。

1回で1箇所に賭けて勝つ確率は0.75です。
1回で2箇所に賭けて両方勝つ確率は0.75^2です。
1回で3箇所に賭けて3箇所とも勝つ確率は0.75^3です。
決められた回数で最も多く儲かる可能性が高いのが、1箇所に賭ける方法です。
同様に、最も損する可能性も高いです。
言い方を変えれば、期待値から外れる可能性が最も高い賭け方ということです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
詳しい数式もご提示いただき助かりました。
太郎くんがリスク回避型かリスク選好型かということですね。
どちらかが明確に正しい、ことではないということがよくわかりました。

お礼日時:2017/03/19 17:13

④勝つ確率は賭け先ごとに75%


⑤勝つと+10%の利益、負けると-10%の損失

これなら絶対に勝ちます。
胴元は元をとれないです。
こんな「賭け」を計画する胴元はありません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
リアルな賭け場の話であればそうでしょうね笑
数学的な疑問を解決したかったです。

お礼日時:2017/03/19 17:26

期待値は変わりませんが、かけ先が多ければ多いほど、期待値からの偏差は少なくなります。


(期待値より得をしたり損をしたりする額が少なくなる可能性が高いです。)
一か所にかけた場合は勝つか負けるかのどちらかですから、
110になる可能性は75%90になる可能性が25%で期待値は105です。
期待値は105ですが、結果は110か90のどちらかです。
100ケ所にかけた場合は、104~106の間に来るのがほとんどになるんじゃないでしょうか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
期待値が同じということは後は太郎くんの選好次第ということなのですね。
納得できました。ありがとうございました。

お礼日時:2017/03/19 17:01

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樹形図ではなく積の法則で求めたいです。


積の法則は理解していますが、この問題での求め方は分かりません。
教えてください。

Aベストアンサー

同時に出す2個を玉1・玉2とします。
積が偶数になるには、「玉1も玉2も奇数」ではない事が条件です。
玉1も玉2も奇数である確率が分かれば、そうではない確率が分かりますね。

玉1も玉2も奇数である確率を求めるには、
「玉1が奇数」と「玉2が奇数」が同時に起こる確率を求めればよいわけです。
ただし、玉1と玉2は同時に取り出すので、単純に1つ取り出す時の確率を2乗すれば良いわけではありません。

「玉1と玉2を同時に取り出す」というのは、「玉1を取り出して、その玉を戻さずに玉2を取り出す」場合と同様に考える事が出来ます。
つまり、「玉1も玉2も奇数となる確率」を求めるには、
「玉1を取り出して、それが奇数である確率」×「玉1が奇数の時に、玉1を戻さずに玉2を取り出して、それが奇数となる確率」
を計算すればよいのです。

具体的には、
玉1が奇数である確率=3/5
5個中3個が奇数なのでそのままですね。
玉1が奇数の時に、玉2が奇数となる確率=2/4=1/2
先程玉1(奇数)が取り出されたので、残ったのは奇数2つと偶数2つです。
4つの内2つが奇数なので、これもそのままですね。
これらを掛け合わせて、
3/5*1/2=3/10
これが、玉1も玉2も奇数、つまり積が奇数となる確率です。
全体からこれを引けば、積が偶数となる確率がわかるので、
1-3/10=7/10
となります。

文字で説明すると長くなりましたが、実際に計算する時は
1-(3/5*2/4)=1-3/10=7/10
とすれば終りますね。
何個から何個を選ぶ組み合わせは…なんて考えずに、
奇数は最初5個の内3個、2つ目は4個の内2個、これだけ分かれば楽勝です。

同時に出す2個を玉1・玉2とします。
積が偶数になるには、「玉1も玉2も奇数」ではない事が条件です。
玉1も玉2も奇数である確率が分かれば、そうではない確率が分かりますね。

玉1も玉2も奇数である確率を求めるには、
「玉1が奇数」と「玉2が奇数」が同時に起こる確率を求めればよいわけです。
ただし、玉1と玉2は同時に取り出すので、単純に1つ取り出す時の確率を2乗すれば良いわけではありません。

「玉1と玉2を同時に取り出す」というのは、「玉1を取り出して、その玉を戻さずに玉2を取り...続きを読む

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Aベストアンサー

なぜこういう現象が起こるかというと、算術平均と幾何平均が異なるからです。中学数学を覚えておられれば、相加平均は相乗平均より常に大きいと言ってもよいとおもいます。この1割ルールだと結果が見えるまで時間がかかるので、5割ルールでやってみると実際わかりやすいのかもしれません。勝てば5割りもらえるが、負ければ半分になるというゲームで実験をするのです。

世の中期待値がものごとのすべてをあらわすというわけではありません。期待値は万能ではないのです。一般によく使われる統計値(賭けごとで最後に残るお金とでも考えてみてください)の代表値によく使われるものは期待値(平均ともいいます)ですが、ほかにも最頻値(もっとも人数が多い統計値)や中央値(ちょうど真ん中の人の統計値)を代表値に選ぶこともあります。

さきのゲームの極限の様相というのはどういうことかというと、ほとんどすべての場合、勝ったり負けたりしながらお金は底をついてしまうが、ごく少数の人だけは勝ち続けて大金持ちになっている、ということなのです。実際に無限回ゲームを繰り返すことなど不可能なので、たとえばN=1000000000ぐらいとでもしてみてください(これでも十分不可能ですが)。幾何平均(0.99)^Nというのはこれは2000000000回のゲームのうち半分N=1000000000ぐらいは勝って、半分N=1000000000ぐらいは負けた場合(当然公平なゲームなら半分勝って半分負けるのがもっともありえそうなことですね)は所持金は最初の(0.99)^N倍になってしまっている、という意味です。だからほとんどお金は底をついてしまっているわけです。でもこのゲームで猛烈に運のいい人がいたとして、3回中2回勝って、1回負けるような人がいたとしましょう。そのときは1×1.1×1.1×0.9=1.089となって、3回やるごとに所持金はだいたい1.09倍ぐらいになっていきます。無限回やったあとはこの人の所持金は無限大円!です。というわけで、こういう可能性も含めて全員の平均をとったものが期待値になりますので、多くの人が極貧になって、ごく少数の人が大金持ちになっていて、全体の平均はイーブンだ、ということになるのです。

この賭けのゲームを冷静に評価することはとても大切なことだと思います。たとえば300円の年末ジャンボの期待値はだいたい150円ぐらいになると言われますが、多くの人は150円のリターンはほとんど期待できません。大抵は末等があたって1割還元される程度でしょう。ほとんどすべての人がそのような状況なのに、なぜ期待値を計算すると半分ぐらいは返ってくる状況になっているかというと、ごくまれに1等があたって億単位のお金がもらえるからです。その可能性は限りなく低いですが、0ではありません。そういう状況のとき、期待値は感覚以上に高くなるのです。というわけで教訓があります。賭け事の期待値にだまされるな!ということです。

では期待値は無意味なものなのか、というと実はそうでもありません。たとえばどういうときに期待値が意味をもってくるかというと、そのゲームを繰り返しなんどもリセットして、最終的な金額の平均になる、という意味があるのです。もういちど一番最初のゲームを思い出してください。

勝つ確率が50%のゲームを行って、勝ったら自分の持っているお金の1割が貰える、負けたら所持金の1割が取られるというゲームを1000回ぐらい繰り返して清算します。たぶんぼろ負けでほとんどお金が残っていないはずです。だいたい5分5分で最初の0.65%ぐらいしか残りません。1万円からはじめたらたった65円です。これでいったんゲームをやめます。そしてもういちど1万円からはじめます。また65円前後かもしれません。でもめちゃくちゃついていて10万円ぐらいになるかも知れません。でもとりあえず1000回ゲームをやったらまた清算します。そしてまた1万円からはじめるのです。さっき10万円になっていたから10万円を賭けるのではなくて、もう一度最初からやり直すのです。このようなことを延々と繰り返します。合計1万回ぐらいこの1000回のゲームをやったとしましょう。1億円使ったことになります。そしてトータルで得たお金も大体1億円ぐらいになるのです。これが期待値が1になっていたという意味の正体です。

期待値というのは同じゲームを繰り返して行ったときの平均の取得金額をあらわしたものです。個別のたった一度のトライをしたときに、いちばんありえそうな金額をあらわすものとは違うのです。そのことをしっかり認識されることは大変有益です。

宝くじやギャンブルについてもう一度だけ書いておきます。たった一回の賭け事をするときに、期待値ぐらいリターンが期待できると思ってはいけません!本来ありえる数字というのは上記のような幾何平均をとった数字になるのだから。

蛇足ついでにもう少し書きます。平均世帯所得という数値がよく公表されますが、あれもあてになりません。世の中貧乏といっても限りがあります(借金かかえているということもありえますが)が、金持ちには上限がありません。そういうものを平均するものだから、平均世帯所得にみたない世帯は半分よりも多いのです。さきのかけの話で言うと、期待値よりも少なくなってしまった人の人数の方が多い、というようなことです。こういう状況を一般に分布が偏っている、などということがあります。たとえばとてつもない難しい数学の試験を受けた生徒がいたとします。順位は半分より上なのにもかかわらず、偏差値が50を切ってしまった、などということもありえるのです。あまりこういう形で偏差値批判をされるようなことは少ないですが、平均点=偏差値50である以上、偏った分布になる難しい試験では偏差値というものはあてにはなりません。どちらかというと順位の方が自然ですよね。(0.99)^Nというのは2N回ゲームしたときの中央値と呼ばれる数字に一致するのです。ちなみにこの場合最頻値という数字とも一致します。こういうことからも期待値が万能ではない、ということが読み取られるのではないでしょうか。

なぜこういう現象が起こるかというと、算術平均と幾何平均が異なるからです。中学数学を覚えておられれば、相加平均は相乗平均より常に大きいと言ってもよいとおもいます。この1割ルールだと結果が見えるまで時間がかかるので、5割ルールでやってみると実際わかりやすいのかもしれません。勝てば5割りもらえるが、負ければ半分になるというゲームで実験をするのです。

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Q濃度75%と濃度90%の水溶液を混ぜて、濃度85%

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 0.75x+0.9y=0.85(x+y)

という式ができます。
xの項を右辺、yの項を左辺に移項して
(0.9-0.85)y=(0.85-0.75)x
 0.05y=0.10x
 ∴x:y=0.05:0.10=1:2

従って、濃度75%と濃度90%の水溶液を混ぜる割合の比は1:2です。


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