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A 回答 (5件)

S(3)=Σ(2k+1)・2^(kー1)【k:1-n】=2Σk・2^(kー1)【k:1-n】+Σ2^(kー1)【k:1-n】


S(4)=Σ(3k+1)・2^(kー1)【k:1-n】=3Σk・2^(kー1)【k:1-n】+Σ2^(kー1)【k:1-n】

a+ar+ar^2+…+ar^(nー1)=[⊿-1 ar^(xー1)]【x:n+1→1】=(ar^nーa)/(rー1)
(a=1,r=2 …1ではない) と2SーS を利用してください!
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部分和分法(定和分)より


3) ∫(2x+1)2^(xー1)⊿x【x:n+1…1】
=[(2x+1)2^(xー1)【x:n+1…1】ー∫⊿(2x+1)・2^{(xー1)+1}【x:n+1…1】
= (2n+3)2^n ー3ー2[2^x]【x:n+1…1】
=(2n+3)2^n ー3ー2{2^(n+1)ー2}
=(2n+3)2^n ー3ー4・2^n +4
=(2nー1)2^n+1 …Ans

4)∫(3xー1)2^(xー1)⊿x【x:n+1…1】
=[(3xー1)2^(xー1)]【x:n+1…1】ー∫ ⊿(3xー1)・2^{(xー1)+1}⊿x【x:n+1…1】
= (3n+2)2^n ー2ー3[2^(n+1) ー2]
=(3n+2)2^n ー2ー3・2^(n+1) +6
=(3nー4)2^n +4 …Ans

符号に気をつけて、だが定和分の方がわかりやすい!

No3の補足として、
f(n)=a+ar+ar^2+…+ar^(nー1)=∫ ar^{(nー1)+1}⊿n=ar^n /(rー1)+C
ここで、n=1 の時, F(1)=a ,また右辺=ar/(rー1) +C ∴ C=ーa/(rー1) より
=(ar^n ーa)/(rー1)

Σ2^=(kー1)【k:1-n】は、共通で
Σk・2^(kー1)【k:1-n】は、2sーsより計算してください!
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不定部分和分法より 定和分もできると思うが?


3) S=∫ {2(n+1)+1}⊿2^{(nー1)+1}⊿n=(2n+3)・2^nー∫⊿(2n+3)・2^(n+1) ⊿n
=(2n+3)2^nー2∫2^(n+1)⊿n=(2n+3)2^nー2^(n+2)+C=(2nー1)2^n+C
ここで、n=1とおくとC=1より
(2nー1)2^n+1 …Ans
4) S=∫ {3(n+1)ー1}⊿2^{(nー1)+1}⊿n=(3n+2)・2^nー∫⊿(3n+2)・2^(n+1) ⊿n
=(3n+2)2^nー3∫2^(n+1)⊿n=(3n+2)2^nー3・2^(n+1)+C=(3nー4)2^n+C
ここで、n=1とおくとC=4より
(3nー4)2^n+4 …Ans
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Sと2倍したSを(2^i)部分が一致するように横に1つずらして縦に並べます。


(S=)2S-Sを計算し、最初と最後の項以外は
(2^i)部分でくくることができ、係数が常に等しくなることが分かるかと思います。
(隣の項との(2^i)の係数の差が常に一定である為です)
その係数でくくることにより、等比数列の和を係数倍した値として求めることができます。
最初と最後の項を加えれば、Sを求めることができます。
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2S-S=?

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