次の和Sの求め方の解説お願い致します。

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A 回答 (5件)

S(3)=Σ(2k+1)・2^(kー1)【k:1-n】=2Σk・2^(kー1)【k:1-n】+Σ2^(kー1)【k:1-n】


S(4)=Σ(3k+1)・2^(kー1)【k:1-n】=3Σk・2^(kー1)【k:1-n】+Σ2^(kー1)【k:1-n】

a+ar+ar^2+…+ar^(nー1)=[⊿-1 ar^(xー1)]【x:n+1→1】=(ar^nーa)/(rー1)
(a=1,r=2 …1ではない) と2SーS を利用してください!
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部分和分法(定和分)より


3) ∫(2x+1)2^(xー1)⊿x【x:n+1…1】
=[(2x+1)2^(xー1)【x:n+1…1】ー∫⊿(2x+1)・2^{(xー1)+1}【x:n+1…1】
= (2n+3)2^n ー3ー2[2^x]【x:n+1…1】
=(2n+3)2^n ー3ー2{2^(n+1)ー2}
=(2n+3)2^n ー3ー4・2^n +4
=(2nー1)2^n+1 …Ans

4)∫(3xー1)2^(xー1)⊿x【x:n+1…1】
=[(3xー1)2^(xー1)]【x:n+1…1】ー∫ ⊿(3xー1)・2^{(xー1)+1}⊿x【x:n+1…1】
= (3n+2)2^n ー2ー3[2^(n+1) ー2]
=(3n+2)2^n ー2ー3・2^(n+1) +6
=(3nー4)2^n +4 …Ans

符号に気をつけて、だが定和分の方がわかりやすい!

No3の補足として、
f(n)=a+ar+ar^2+…+ar^(nー1)=∫ ar^{(nー1)+1}⊿n=ar^n /(rー1)+C
ここで、n=1 の時, F(1)=a ,また右辺=ar/(rー1) +C ∴ C=ーa/(rー1) より
=(ar^n ーa)/(rー1)

Σ2^=(kー1)【k:1-n】は、共通で
Σk・2^(kー1)【k:1-n】は、2sーsより計算してください!
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不定部分和分法より 定和分もできると思うが?


3) S=∫ {2(n+1)+1}⊿2^{(nー1)+1}⊿n=(2n+3)・2^nー∫⊿(2n+3)・2^(n+1) ⊿n
=(2n+3)2^nー2∫2^(n+1)⊿n=(2n+3)2^nー2^(n+2)+C=(2nー1)2^n+C
ここで、n=1とおくとC=1より
(2nー1)2^n+1 …Ans
4) S=∫ {3(n+1)ー1}⊿2^{(nー1)+1}⊿n=(3n+2)・2^nー∫⊿(3n+2)・2^(n+1) ⊿n
=(3n+2)2^nー3∫2^(n+1)⊿n=(3n+2)2^nー3・2^(n+1)+C=(3nー4)2^n+C
ここで、n=1とおくとC=4より
(3nー4)2^n+4 …Ans
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Sと2倍したSを(2^i)部分が一致するように横に1つずらして縦に並べます。


(S=)2S-Sを計算し、最初と最後の項以外は
(2^i)部分でくくることができ、係数が常に等しくなることが分かるかと思います。
(隣の項との(2^i)の係数の差が常に一定である為です)
その係数でくくることにより、等比数列の和を係数倍した値として求めることができます。
最初と最後の項を加えれば、Sを求めることができます。
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2S-S=?

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Q次の和Sの求め方を教えて下さい。 S=150+143+136+129+……+10+3

次の和Sの求め方を教えて下さい。
S=150+143+136+129+……+10+3

Aベストアンサー

150=3+7*21です。
S=Σ(3+7x)(x=0~21)と表現できます。(x=0からx=21まで3+7xを合計するという意味です)
3は22個集まると66です。
0~21の和は
0と21をペアにします(0+21=21)
1と20をペアにします(2+20=21)

10と11をペアにします(10+11=21)
21となるペアが11個できました。
よって21*11=231です。
それが7倍されるので231*7=1617です。
66と1617を合わせて1683がSです。

分かり易いと思って分けましたが、
150+3=153
143+10=153

80+73=153
として、
153のペアが11個と考えれば、
153*11=1683と一発で出ます。

Q数学的帰納法の問題の解説お願い致します。 3以上の自然数nについて、不等式2^n>2n+1が成り立つ

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Aベストアンサー

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/mobile/inductive_method1_m.htm

条件より
n=3のとき 2^3=8>2・3+1=7 となり成立する。

今、n=kにおいて
2^k>2k+1 が成り立つと仮定すると
両辺を2倍すると
2・2^k=2^(k+1)>2(2k+1)=4k+2>2(k+1)+1 (∵k≧3)
が成り立つ
これは、n=k+1でも成立することを意味しているから、
数学的帰納法より、この不等式は、3以上の自然数で成り立つ!

Q数学の漸化式について解説お願い致します。 ①漸化式a[1]=1、a[n+1]=a[n]/(2a[n]

数学の漸化式について解説お願い致します。
①漸化式a[1]=1、a[n+1]=a[n]/(2a[n]+3)で定義される数列{a[n]}について次の問いに答えなさい。
(1)b[n]=1/a[n]とおく。b[n+1]をb[n]を用いて表しなさい。
(2)a[n]を求めなさい。


②漸化式a[1]=1、a[n+1]=3a[n]+8nで定義される数列{a[n]}について次の問いに答えなさい。
(1)b[n]=a[n]+4n+2とおく。b[n+1]をb[n]を用いて表しなさい。
(2)a[n]を求めなさい。

Aベストアンサー

b[n]=1/a[n]
b[n+1]=1/a[n+1]=(2a[n]+3)/a[n]=(2a[n]+3)b[n]=(2/b[n]+3)b[n]

a[n]=1/(2*3^(n-1)-1)


b[n+1]=a[n+1]+4(n+1)+2=3a[n]+8n+4n+6=3a[n]+12n+6=3(a[n]+4n+2)=3b[n]

a[n]=3^(n-1)+8*((3^(n-1)-1)*3/4-(n-1)/2)
=3^(n-1)+2(3^n-3)-4(n-1)
=2*3^n+3^(n-1)-4n-2
=3^(n-1)*(6+1)-4n-2
=7*3^(n-1)-4n-2


※以下は②(2)の算出時に用いたメモです。
試行錯誤の結果求めたにすぎないので、他にすんなり解ける方法があるかもしれません。

a[1]=1
1+8*0
3^0+8*(0+0)
b[1]=1+4+2=7
a[2]=3+8=11
3+8*1
3^1+8*(0+1)
b[2]=21
a[3]=33+16=49
9+8*5
3^2+8*(3+2)
b[3]=63
a[4]=147+24=171
27+8*18
3^3+8*(15+3)
b[4]=189
a[5]=513+32=545
81+8*58
3^4+8*(54+4)
b[5]=567
a[6]=1635+40=1675
243+8*179
3^5+8*(174+5)

1
1*3+8*1
1*3*3+8*1*3+8*2
1*3*3*3+8*1*3*3+8*2*3+8*3
1*3*3*3*3+8*1*3*3*3+8*2*3*3+8*3*3+8*4

3^(n-1)+8*
0,1,3+2,9+6+3,27+18+9+4,81+54+27+12+5
0,0+1,3+2,3(3+2)+3,3(3(3+2)+3)+4,3(3(3(3+2)+3)+4)+5
179=5+4*3+3*3*3+2*3*3*3+1*3*3*3*3
S=1*3^(n-1)+2*3^(n-2)+3*3^(n-3)+…n*3^(n-n)
(1/3)S=1*3^(n-2)+2*3^(n-3)+3*3^(n-4)+…(n-1)*3^(0)+n*3^(-1)
(1-1/3)S=1*3^(n-1)+(2-1)*3^(n-2)+(3-2)*3^(n-3)+…+(n-(n-1))*3^(0)+n*3^(-1)
=3^(n-1)+3^(n-2)+3^(n-3)+3^(n-4)+…+3^(0)+n*3^(-1)
=Σ3^(n-k)(k=1~n)-n/3
=3^(n-1)*(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3
=3^(n-1)*(1-1/3^n))*(3/2)-n/3
=3^n*(1-1/3^n)/2-n/3
=(3^n-1)/2-n/3
=(2/3)S
S=(3^n-1)*3/4-n/2

b[n]=1/a[n]
b[n+1]=1/a[n+1]=(2a[n]+3)/a[n]=(2a[n]+3)b[n]=(2/b[n]+3)b[n]

a[n]=1/(2*3^(n-1)-1)


b[n+1]=a[n+1]+4(n+1)+2=3a[n]+8n+4n+6=3a[n]+12n+6=3(a[n]+4n+2)=3b[n]

a[n]=3^(n-1)+8*((3^(n-1)-1)*3/4-(n-1)/2)
=3^(n-1)+2(3^n-3)-4(n-1)
=2*3^n+3^(n-1)-4n-2
=3^(n-1)*(6+1)-4n-2
=7*3^(n-1)-4n-2


※以下は②(2)の算出時に用いたメモです。
試行錯誤の結果求めたにすぎないので、他にすんなり解ける方法があるかもしれません。

a[1]=1
1+8*0
3^0+8*(0+0)
b[1]=1+4+2=7
a[2]=3+8=11
3+8*1
3^1+8*(0+1)
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Q至急お願いします。塾の宿題がわかりません。教えてください。わがままかもしれないですが全て解説お願いし

至急お願いします。塾の宿題がわかりません。教えてください。わがままかもしれないですが全て解説お願いします。中二で理解できるようにお願いします。

Aベストアンサー

ちょっと見づらいですね・・・図だけ写真で後は文章を入力した方がいいかも。

点O、O’を中心とし、周の長さが12cmの2つの円を底面とする円柱がある。それぞれの底面の?上に点A、Bがあり、線分ABは線分OO'に平行である。点P、Qはそれぞれ点A、Bを同時に出発し、図1の矢印のように、円O、O'の周上を反対の方向に回転する。点Pは、毎秒2cmの速さで、点Qは毎秒acmの速さで進み、ともに10秒後に止まる。 ただし、a>0とする。 次の各問いに答えなさい。

問1 図2は点Pが最初に点Aを出発してからの時間をx秒、点Pが点Aから進んだ道のりをycmとした時のxとyの関係を表したグラフである。ただし、6≦x≦10のときは、点Pが、点Aに戻ってきてから進んだ道のりをycmとする。 グラフで●は?の点を含むことをあらわし、○は?の点を含まないことを表している。
(1)図1で線分APが円Oの直径となることが2回ある。図2のグラフ上で2回目に円Oの直径となる時間と進んだ道のりを表す点の座標を求めなさい。

Oの直系となるのはxが3の時と9の時、2回目なので9の時、yは当然6 よって座標は(9、6)

(2)図2で6≦x≦10のとき、yをxの式で表しなさい。

傾きは2、2回目のグラフは1回目のグラフ(原点を通る)をy軸方向に-12ずらしたものになっているので、y=2x-12

問2 線分PQが線分ABと重なってまったく一致するときは、線分PQと線分ABは平行と考えないものとする。
(1)a=3とし、点Qが最初に点Bを出発してからの時間をx秒、点Qが点Bに戻るまでの残りの道のりをycmとする。 例えばx=1のとき、y=9である。
①0<x≦4のとき、yをxの式で表しなさい。ただし、点Qが点Bの位置にあるときはy=0とする。

xが0の時y=12で、xが1増えるごとに残りの距離は3減るので、y=-3x+12

②点Pが最初に点Aを出発してから、4回目に線分PQと線分ABが平行になるのは何秒後か求めなさい。

最初PQ間は12cmで、互いに毎秒2cmと3cm近づくので、2.4秒毎に線分PQと線分ABが平行になる。
4回目まで具体的に表すと、x=2.4, 4.8, 7.2, 9.6秒の時である。 設問中には線分PQが線分ABと重なる時は平行と考えないとあるが、PがAと重なるのはxが6の倍数の時で、QがBに重なるのはxが4の倍数の時である。 先ほどの4つのxはどれもこれらに当てはまらない為、4回とも平行である。 よって4回目に線分PQと線分ABが平行になるのは、9.6秒後である。

(2)点Pが最初に点Aを出発してから7秒後に線分PQと線分ABが3回目に平行になるようなaの値を求めなさい。

7秒後に3回目の平行なのであるから、7秒で36cm動く必要がある。つまりa+2=36/7となり、a=22/7。
7/3、14/3、7、の3回という事だが、先ほど同様PとAが重なるのは6の倍数の時なので、この3回はこれに当てはまらない。
よってa=22/7が正解である。

恐らくあっていると思うが、文字の見間違いなどの可能性もあるので、確認してください。

ちょっと見づらいですね・・・図だけ写真で後は文章を入力した方がいいかも。

点O、O’を中心とし、周の長さが12cmの2つの円を底面とする円柱がある。それぞれの底面の?上に点A、Bがあり、線分ABは線分OO'に平行である。点P、Qはそれぞれ点A、Bを同時に出発し、図1の矢印のように、円O、O'の周上を反対の方向に回転する。点Pは、毎秒2cmの速さで、点Qは毎秒acmの速さで進み、ともに10秒後に止まる。 ただし、a>0とする。 次の各問いに答えなさい。

問1 図2は点Pが最初に点Aを出発してからの時間をx秒、...続きを読む

Q数学です。2問教えてもらいたいです。「次のような四角形ABCDの面積Sを求めよ。」という問題です。一

数学です。2問教えてもらいたいです。「次のような四角形ABCDの面積Sを求めよ。」という問題です。一つ目は「平行四辺形ABCDで、対角線の交点をOとすると、AC=10,BD=6√2,∠AOD=135°」、二つ目は「AD〃(ヘイコウ)BCの台形ABCDで、AB=5,BC=8,BD=7,∠A=120°」です。答えは分かっているのですが(一つ目はS=30,二つ目は、S=4分の55√3),解き方が分かりませんでした。回答お願いします。

Aベストアンサー

一つ目
⊿ABDについて考える
 BDを底辺としたとき、AからBDに垂線を降ろした交点をEとする
 ∠AOB=45°なので、⊿EAOは直角二等辺三角形 辺の比は1:1:√2
 AO=5 だから AE=EO=5√2/2
 底辺(BD)=6√2 高さ(AE)=5√2/2 より
 面積は 15
平行四辺形ABCDの面積は⊿ABDの2倍で 30

二つ目
 Aから辺CBにに垂線を降ろした交点をEとする
 また、Dから辺CBにに垂線を降ろした交点をFとする
  四角形AEFDは長方形
まず⊿ABEについて考える
 AD∥BC、∠BAD=120°なので、∠ABE=60°∠BEA=90°の直角三角形
 BE:AB:EA=1:2:√3、AB=5 より BE=5/2、EA=5√3/2
次に⊿BFD(直角三角形)について考える
 FD=EA=5√3/2
 DB=7
 三平方の定理より、BF=11/2

 EF=BF-BE=11/2 - 5/2 = 3
四角形AEFDは長方形なので AD=EF=3
台形ABCDの面積は (AD+BC)×AE÷2= (8+3)×(5√3/2)÷2 =55√3

一つ目
⊿ABDについて考える
 BDを底辺としたとき、AからBDに垂線を降ろした交点をEとする
 ∠AOB=45°なので、⊿EAOは直角二等辺三角形 辺の比は1:1:√2
 AO=5 だから AE=EO=5√2/2
 底辺(BD)=6√2 高さ(AE)=5√2/2 より
 面積は 15
平行四辺形ABCDの面積は⊿ABDの2倍で 30

二つ目
 Aから辺CBにに垂線を降ろした交点をEとする
 また、Dから辺CBにに垂線を降ろした交点をFとする
  四角形AEFDは長方形
まず⊿ABEについて考える
 AD∥BC、∠BAD=120°なので、∠ABE=60°∠BEA=90°の直角三角形
 BE:AB:EA=...続きを読む


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