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四脚場は下記HPのP1の式(1)で表されます。
g_μν=η_ab e^a_μ e^b_ν

例えば

g_μν=
-1,0,0,0.3
0,0.9,0,0
0,0,0.9,0
0.3,0,0,0.9

のとき、e^a_μ や e^b_ν は、どのような行列になるのでしょうか?

g_μνが別の例でも結構です。

http://ha2.seikyou.ne.jp/home/Kiyoshi.Shiraishi/ …

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    e^a_μ や e^b_ν は、対称行列なのでしょうか?

      補足日時:2017/03/22 09:05
  • うーん・・・

    ご回答有難う御座います。
    私事で恐縮で御座いますが、先ほど、嫌がらせと思われる無言電話が2回あり、頭に血が昇って、交感神経のバランスが乱れ、冷静に考えられない状況です。
    すこし落ち着いてから、考えます。

    No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/03/25 15:17
  • うーん・・・

    ご回答有難う御座います。

    んんん、添え字の上げ下げの規則を考慮する必要があるかもしれませんね。

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/03/25 15:52
  • うーん・・・

    すいません。計算間違いでした。

    e^a_μ=
    1.04881,0,0,0.316228
    0,0.948683,0,0
    0,0,0.948683,0
    0,0,0,0.948683


    η_ab=
    -1,0,0,0
    0,1,0,0
    0,0,1,0
    0,0,0,1


    e^b_ν=
    1.04881,0,0,0
    0,0.948683,0,0
    0,0,0.948683,0
    0.316228 ,0,0,0.948683




    の場合は、

    e^a_μ*η_ab*e^b_ν=
    -1,0,0,0.3
    0,0.9,0,0
    0,0,0.9,0
    0.3,0,0,0.9
    となります。

      補足日時:2017/03/25 16:22
  • うーん・・・

    ご回答有難う御座います。
    私事で恐縮で御座いますが、ちょっとイライラしていて、失礼なお返事をしてしまいました。
    再度、規則を見直します。

      補足日時:2017/03/26 10:29

A 回答 (8件)

>η_ab e^a_μ e^b_ν


これを行列表示した時に転置行列が登場するとわかっている人が
>g_μν=η_ab e^a_μ e^b_ν
>の順番で計算する必要があるのではないでしょうか?
のような疑問を抱くとは思えないのですが。。。

アインシュタインの記法に使い慣れていなくて混乱しているだけだといいのですが。
正直あなたの理解がどの程度なのかさっぱりわからなくなりました。

どの程度の回答をする必要があるのか分からなくなりましたので、少し確認させてください。

行列Aの(i,j)成分をA_ijなどと書くことにしたとき、
行列ABCの(i,j)成分は
Σ_kl A_ik B_kl C_lj
である事はわかりますか?(Σ_klはk,lについての和を表すことにします)


また、A_ik,B_kl,C_ljはただの実数ですので、
Σ_kl A_ik B_kl C_lj
=Σ_kl A_ik C_lj B_kl
=Σ_kl B_kl A_ik C_lj
=Σ_kl B_kl C_lj A_ik
=Σ_kl C_lj A_ik B_kl
=Σ_kl C_lj B_kl A_ik
のようにΣの中で積の順番を入れ替えたものたちが同じ値であり、
特にこうやって入れ替えたとしても 行列ABCの(i,j)成分である事は変わらない事はわかりますか?

最後にΣ_kl B_kl A_ki C_lj
がどのような行列のどの成分であるのかはわかりますか?(上の式とは違ってAの添え字がA_kiとなっている事に注意して下さい)
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
>アインシュタインの記法に使い慣れていなくて混乱しているだけだといいのですが。
慣れてないです。毎日、アインシュタインの記法を使って計算している人ならともかく、久しぶりに計算しようと思った次第です。

>正直あなたの理解がどの程度なのかさっぱりわからなくなりました。
細かい点は忘れているかもしれません。

>特にこうやって入れ替えたとしても 行列ABCの(i,j)成分である事は変わらない事はわかりますか?
(たぶんそんな難しい話ではないとは思うのですが)よく理解できないです。

お礼日時:2017/03/26 08:41

あ、ふと気づきましたが、


#5のお礼欄の行列を上から順に、η, e, e^tと書くことにしたら、計算すべきなのは
e^t η e
である事は大丈夫でしょうか。
η e e^t
など積の順番が違うのではありませんか?
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
(無言電話の怒りから回復しました。すいません。)

>η e e^t
>など積の順番が違うのではありませんか?
その通りです。

>e^t η e
>である事は大丈夫でしょうか。
以下でよろしいのでしょうか?


e^a_μ=
1.04403,0,0,0.3
0,0.948683,0,0
0,0,0.948683,0
0,0,0,1


η_ab=
-1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1


e^b_ν=
1.04403,0,0,0
0,0.948683,0,0
0,0,0.948683,0
0.3,0,0,1

の場合は、

e^a_μ*η_ab*e^b_ν=
-1,0,0,0.3
0,0.9,0,0
0,0,0.9,0
0.3,0,0,0.9
となります。

でも、
g_μν=η_ab e^a_μ e^b_ν
の順番で計算する必要があるのではないでしょうか?

お礼日時:2017/03/25 15:49

いや、ですから、


η_ab e^a_μ e^b_ν =η_ab e^a_ν e^b_μ
が成り立つ(μ,νを交換しても値が変わらない)のですから、正しく計算すれば【必ず】対称行列になります。

対称行列にならないのは、どこかの計算が間違っているという事であって、e^a_μの値のせいではありません。まずは何が間違っているのか探してください。
その間違いを見つけていないのなら、仮に正しい四脚場を提示したとしても、あなたが検算すると四脚場の条件を満たさない事になると思われますか、提示する意味がありません。

どうしてもご自身で見つけられないのなら、計算過程をできるだけ詳しく書いてください。(#5のお礼欄を見る限り、3つの行列の積を計算しているのでしょうから、まずどの2つの行列の積を計算して、いくらになったのかという事で十分だろうと思います)
この回答への補足あり
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η_ab e^a_μ e^b_νはeの値をどのように選んでも常に対称行列です。

対称行列にすらならなかったのならeの値のせいではなく、どこかで符号の計算などを間違えたという事でしょう。
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

η_ab=
-1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1

e^a_μ=
-1,0,0,0.5
0,0.948683,0,0
0,0,0.948683,0
0,0,0,1

e^b_ν=
-1,0,0,0
0,0.948683,0,0
0,0,0.948683,0
0.5,0,0,1

の場合は、

g_μν=
-1.25,0,0,-0.5
0,0.9,0,0
0,0,0.9,0
0.5,0,0,1

になったりして、上手く計算できません。g_μνが対称行列になりません。

例えば

g_μν=
-1,0,0,0.3
0,0.9,0,0
0,0,0.9,0
0.3,0,0,0.9

のとき、e^a_μ や e^b_ν は、具体的にどのような行列になるのでしょうか?

お礼日時:2017/03/25 12:39

>計算しようとしたのですが、上手く計算出来ません。

非対角成分の値が、0.3にならないです。
e^a_μを#3に書いたものにすると、
g_03=-αγ
になると思いますが、これが0.3にならない(他の条件からαまたはγが決まって0.3になるようにα,γを選べないなど)という意味ですか?それともこうはならなかったという意味ですか?
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
>g_03=-αγ
>になると思いますが、これが0.3にならない(他の条件からαまたはγが決まって0.3になるようにα,γを選べないなど)という意味ですか?
全くその通りです。
g_μν=
-1,0,0,-0.3
0,0.9,0,0
0,0,0.9,0
0.3,0,0,0.9
になってしまいます。

お礼日時:2017/03/25 09:23

四脚場を見つけるための具体的な計算方法を書いているのであって、条件を満たす四脚場の存在について言っているわけではありません。


また、#2に書いた計算方法が線形代数の内容だと言っているのであって、四脚場の話の全てが線形代数の内容だとか簡単だとか言っているわけではありません。

数学的には簡単な計算しかなくても、成分が多い分だけ手間はかかるのですよ。
計算結果を知りたいと思っていて計算するだけの知識を持っているであろう貴方自身が計算する気がないのに、代わりに計算してくれる人はなかなか現れないと思いますよ。

まぁ、とにかくお示しの計量テンソルに対する四脚場だけを手っ取り早く知りたいのなら、
e^0_0=α, e^1_1=e^2_2=√0.9, e^3_3=β
e^0_3=γ, 他の成分=0
の形の四脚場が存在していると思いますから、お示しの条件からα,β,γを求めることにした方が計算量は少なくて済むでしょう。(多分この式で大丈夫ですが、これで上手く求まらないならe^3_0=δを追加してみてください)

>e^a_μ や e^b_ν は、対称行列なのでしょうか?
いいえ。
例えば、g_μν=η_μνのなら、e^a_μは(広義の)ローレンツ変換の行列で、特に空間部分の回転でも良いです(回転行列は対称行列ではありません)。
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

>まぁ、とにかくお示しの計量テンソルに対する四脚場だけを手っ取り早く知りたいのなら、
>e^0_0=α, e^1_1=e^2_2=√0.9, e^3_3=β
>e^0_3=γ, 他の成分=0
>の形の四脚場が存在していると思いますから、お示しの条件からα,β,γを求めることにした方が計算量は少なくて済むでしょう。
>(多分この式で大丈夫ですが、これで上手く求まらないならe^3_0=δを追加してみてください)

計算しようとしたのですが、上手く計算出来ません。非対角成分の値が、0.3にならないです。
α,β,γ等の変数ではなく、実数の例はないでしょうか?

お礼日時:2017/03/24 15:44

ベクトルa,bに対して内積を(a,b)=g_μνa^μa^νと定義する事にします。


(f_a,f_b)=η_abを満たす正規直交基底を<f_0,・・・,f_3>を一組見つけたとします。
e_μをμ番目の成分が1で、他の成分が0であるようなベクトルとしたとき、fは基底なので
e_μ=e^a_μ f_a
であるようなe^a_μが存在します。

このとき、(e_μ,e_ν)を計算すればこのe^a_μがご質問の四脚場である事が確認できるはずですし、e^a_μは線形代数でいう基底の変換行列である事もすぐにわかるでしょう。

したがって、やるべき計算は線形代数の言葉で言えば
・必ずしも正規でも直交でもない基底(e_μ)から、正規直交基底(f_a)を求める
・この時の基底の変換行列を求める
という事になります。
一般相対論に取り組もうとする人ならこの程度の学部の線形代数レベルの計算は自力でできるでしょうから具体的な値での計算が必要ならご自身でやって下さい。
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
>具体的な値での計算が必要ならご自身でやって下さい。
そんな、、、解が存在するか否かは質問してません。
質問してないことばかりご回答されて、知りたいことが不明です。

>一般相対論に取り組もうとする人ならこの程度の学部の線形代数レベルの計算は自力でできるでしょうから
この問題は一般相対論を理解している人ならだれでも簡単に解る問題なのでしょうか?
四脚場は一般相対論より更にレベルが上の問題のような気もします。

お礼日時:2017/03/22 08:58

明らかにeの選び方に一意性はありませんから、どうなるとはいいようがありませんが、数学的には、斜交座標から直交座標への座標変換と同じ事をやるだけでしょう。


物理的には局所慣性系への座標変換を考えている事になっているはずです。
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この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
すいません。よく解りません。

>明らかにeの選び方に一意性はありませんから、どうなるとはいいようがありませんが

幾つも存在するということでしょうか?
もしそうで御座いましたら、1つだけでも結構なので、
g_μν=η_ab e^a_μ e^b_ν
を満たすe^a_μ や e^b_ν の行列の例を教えて下さい。

それとも、e^a_μ や e^b_ν は、具体的な行列は、存在しないということでしょうか?

>数学的には、斜交座標から直交座標への座標変換と同じ事をやるだけでしょう。
その点を質問しているのでは御座いません。

お礼日時:2017/03/21 11:29

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