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a3+27b3+c3-9abc=(a+3b+c)(?)
また上の式を利用してa=x-y,3b=y-z,c=z-x
とおくと
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=?
?のところはどうやるか教えて下さい。

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A 回答 (4件)

上は、3b=Bとおけば、対称式なので、恒等式として、


m(x^2+B^2+c^2)+n(xy+yz+zx)と右辺をおき係数比較すればいい!

下は、交代式なので、m(xーy)(yーz)(zーx)とおいて同じく比較すればいい!

対称式・交代式の性質より、恒等式を作り、係数比較すればいい!
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a,b,cの後の3は3乗ですよね?aの3乗ならa^3という風に書きましょう。



a+3b+cを何倍かしてa^3+27b^3+c^3-9abcとなっているので、a^2+9b^2+c^2倍を考えてみましょう。
(a,b,cの3乗に合わせるため)
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)=a^3+27b^3+c^3+9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c
つまり
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-(9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c)-3abc
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2cについても、a+3b+cの倍数で考えてみましょう。
(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)=3a^2b+a^2c+3abc+9ab^2+3abc+9b^2c+3abc+ac^2+3bc^2
よって
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c=(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-((a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc)-3abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-3ab-ac-3bc-12abc/(a+3b+c))
でしょうか。

(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3はそのまま左辺なので、右辺のa,b,cにも代入しましょう。
代入する際は分数の分母が0となる可能性を排除し、
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abcに代入します。
(a+3b+c)=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0なので、
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-12abc=-4(x-y)(y-z)(z-x)
となります。
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a³+27b³+c³-9abc を筆算で実際に(a+3b+c)で割ってみる。

その答えが?。

又は
x³+y³+z³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)を使う①
(①は(x+y+z)³を展開して移項すると出て来る公式)

x=a、y=3b、z=cを代入すると、a³+27b³+c³-9abcになるから、

a³+27b³+c³-9abc=(a+3b+c)(a²+9b²+c²-3ab-3bc-ac)

?=(a²+9b²+c²-3ab-3bc-ac)

a=x-y,3b=y-z,c=z-xを代入すると
左辺:(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³
左辺のa+3b+c=(x-y+y-z+z-x)=0

∴(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³=0
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27b3=(3b)3 に気をつけて!

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