a3+27b3+c3-9abc=(a+3b+c)(?)
また上の式を利用してa=x-y,3b=y-z,c=z-x
とおくと
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=?
?のところはどうやるか教えて下さい。

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A 回答 (4件)

a,b,cの後の3は3乗ですよね?aの3乗ならa^3という風に書きましょう。



a+3b+cを何倍かしてa^3+27b^3+c^3-9abcとなっているので、a^2+9b^2+c^2倍を考えてみましょう。
(a,b,cの3乗に合わせるため)
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)=a^3+27b^3+c^3+9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c
つまり
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-(9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c)-3abc
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2cについても、a+3b+cの倍数で考えてみましょう。
(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)=3a^2b+a^2c+3abc+9ab^2+3abc+9b^2c+3abc+ac^2+3bc^2
よって
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c=(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-((a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc)-3abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-3ab-ac-3bc-12abc/(a+3b+c))
でしょうか。

(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3はそのまま左辺なので、右辺のa,b,cにも代入しましょう。
代入する際は分数の分母が0となる可能性を排除し、
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abcに代入します。
(a+3b+c)=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0なので、
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-12abc=-4(x-y)(y-z)(z-x)
となります。
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上は、3b=Bとおけば、対称式なので、恒等式として、


m(x^2+B^2+c^2)+n(xy+yz+zx)と右辺をおき係数比較すればいい!

下は、交代式なので、m(xーy)(yーz)(zーx)とおいて同じく比較すればいい!

対称式・交代式の性質より、恒等式を作り、係数比較すればいい!
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a³+27b³+c³-9abc を筆算で実際に(a+3b+c)で割ってみる。

その答えが?。

又は
x³+y³+z³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)を使う①
(①は(x+y+z)³を展開して移項すると出て来る公式)

x=a、y=3b、z=cを代入すると、a³+27b³+c³-9abcになるから、

a³+27b³+c³-9abc=(a+3b+c)(a²+9b²+c²-3ab-3bc-ac)

?=(a²+9b²+c²-3ab-3bc-ac)

a=x-y,3b=y-z,c=z-xを代入すると
左辺:(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³
左辺のa+3b+c=(x-y+y-z+z-x)=0

∴(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³=0
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27b3=(3b)3 に気をつけて!

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解説よろしくお願いします( ; ; )

Aベストアンサー

式を満たすということは、その式を利用して代入できるということ。

z=2x-2y
y=6x+2z-5=6x+2(2x-2y)-5=10x-4y-5
y=2x-1
z=2x-2(2x-1)=-2x+2
これらを代入すると
ax^2+b(2x-1)^2+c(-2x+2)^2=-2
ax^2+b(4x^2-4x+1)+c(4x^2-8x+4)+2=0
(a+4b+4c)x^2+(-4b-8c)x+(b+4c+2)=0

この時、
(a+4b+4c)=0
(-4b-8c)=-4(b+2c)=0
(b+4c+2)=0
を全て満たせば、xの値によらず常に成り立つ。
b+2c=0より
b+4c+2=2c+2=0
c=-1
b=-2c=2
a=-4(b+c)=-4

よってa=-4,b=2,c=-1
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曲線 y=-9x^2 + 5 (-2/3 < x < 1 )と、直線y=m(x+1)とが共有点をもつような定数mの値を求めなさい。

<のところは、小なりイコールです。
もしできる方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

グラフをかいて考えます。
曲線 y=-9x^2+5 ・・・・・ ① は頂点の座標が(0, 5) の上に凸の放物線です。

x の範囲があるので、
x=-2/3 のとき y=-4+5=1
x=1 のとき y=-9+5=-4

直線 y=m(x+1) ・・・・・ ② は、mの値に関わらず、定点(-1, 0) を通る直線です。

求めるmの範囲は、直線②が図の(ア)から(イ)の間にあるとき。

mの最小値は、直線②が点(1, -4) を通るときだから
-4=m(1+1)
2m=-4
m=-2

mの最大値は、曲線①と直線②が接するときだから、①、②より
-9x^2+5=m(x+1)
9x^2+mx+m-5=0 ・・・・・ ③
の判別式をDとすると、D=0
D=m^2-4・9・(m-5)=0
m^2-36m+180=0
(m-6)(m-30)=0
m=6, 30

m=6 のとき ③に代入して
9x^2+6x+1=0
(3x+1)^2=0
x=-1/3
これは、曲線①と直線②の接点のx座標が -2/3≦x≦1 の範囲にあるので適する。

m=30 のとき ③に代入して
9x^2+30x+25=0
(3x+5)^2=0
x=-5/3
これは、曲線①と直線②の接点のx座標が -2/3≦x≦1 の範囲にないので適さない。

したがって、求めるmの値の範囲は
-2≦m≦6

グラフをかいて考えます。
曲線 y=-9x^2+5 ・・・・・ ① は頂点の座標が(0, 5) の上に凸の放物線です。

x の範囲があるので、
x=-2/3 のとき y=-4+5=1
x=1 のとき y=-9+5=-4

直線 y=m(x+1) ・・・・・ ② は、mの値に関わらず、定点(-1, 0) を通る直線です。

求めるmの範囲は、直線②が図の(ア)から(イ)の間にあるとき。

mの最小値は、直線②が点(1, -4) を通るときだから
-4=m(1+1)
2m=-4
m=-2

mの最大値は、曲線①と直線②が接するときだから、①、②より
-9x^2+5=m(x+1)
9x^2+mx+m-5=0 ・・・・・ ③
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わかる方教えて下さい(´;ω;`)

Aベストアンサー

x^3+3x^2+5x+6=0 を因数分解すると(x+2)(x^2+x+3)=0
1つの解を共有する場合、f(x)=x^2+x+kとおくと、f(-2)=0となればよいので、それを解くとk=-2
f(x)=x^2+x-2=0の解はx=-2,1であるので、確かに1つの解を共有する。
2つの解を共有するとき、x^2+x+3=0の2つの虚数解と一致すればよく、x^2+x+3=0と x^2+x+k=0 の2式を比較すると、k=3
よって1つの解を共有するときk=-2、2つの解を共有するときk=3

Aベストアンサー

(x-2)(x-3) = 0
((x-2)(x-3)) ÷ (x-3) = 0 ÷ (x-3)
(x-2) = 0
x-2 = 0


(x-2)(x-3) = 0
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(x-3) = 0
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という値が出たのですが、これは間違いなのでしょうか?

理由も添えて回答お願いします。

Aベストアンサー

間違いではないと思いますが、終わってませんね。

x^4-7x^2 y^2+y^4
={(x^2-y^2)^2+2x^2 y^2}-7x^2 y^2
=(x^2-y^2)^2-5x^2 y^2
=(x^2+√5xy-y^2)(x^2-√5xy-y^2)
={(x+√5 y/2)^2-(3y/2)^2}{(x-√5 y/2)^2-(3y/2)^2}
={x+(3+√5)y/2}{x-(3-√5)y/2}{x+(3-√5)y/2}{x-(3+√5)y/2} //

となるでしょう。但し、先に真中の項を '+' にしておくと、後が -9x^2 y^2 となるので計算し易いと思います。


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