物の故障などに使われる、ワイブル分布
について教えて下さい。よろしくしくお願いします。

A 回答 (1件)

以下のURLを見てください。



参考URL:http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/weib …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
以前に、私もこのページ見たんですけど、
自分ではいまいち理解できなかったんですよ。
でも、回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/30 09:44

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ワイブル分布より裾の厚い分布は何がありますか?数値は0<x<無限の範囲です。

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メジャーところだと対数正規分布とかでしょうか。

Qワイブル分布を使った推定

ある製品が販売後t年経っても廃棄されずに残っている率(残存率Y(t)と呼ぶことにします)のデータがt=1からt=10まであります。これを元に、t=11からt=50までの残存率を推定したいと思っています。

ワイブル分布を説明した
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%AB%E5%88%86%E5%B8%83
を見て、ワイブル・プロットという方法を使うと次のようにできると考えたのですが、妥当なやり方でしょうか。

・t=1~10の時のln(t)を説明変数、ln(ln(1/Y(t)))を被説明変数とした単回帰を行い、回帰式を求める
・回帰式にt=11~50を代入して、ln(ln(1/Y(t)))の推定値を求める(これをZ(t)と書くことにする)
・1/(exp(exp(Z(t)))を計算することにより、Y(t)を求める。

Excelで作ってみたところ、それっぽい曲線はできたのですが。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ANo.2へのコメントについて。

> 線形回帰の関数slope, intercept等

 実はそんなの使ったことなくてですね、大抵いつも行列計算の関数でやってるんですよ。

 要するに
  r[n] = a x[n] + b - y[n]   (n=1,2,…,N。a, bが未知数、r[n]は残差、x[n],y[n]は値が分かっている。)
においてΣ((w[n]r[n])^2) が最小になる解 (a,b)を計算したい。(ただしw[n]は値が分かっている。)ということは
   w[n]r[n] = a w[n]x[n] + w[n]b - w[n]y[n]  (n=1,2,…,N)
においてΣ((w[n]r[n])^2) が最小になる解 (a,b)を計算したって同じなわけで、ここで
  Y[n] = w[n]y[n]
  X[n] = w[n]x[n]
  R[n] = w[n]r[n]
と書くことにすれば
  R[n] = a X[n] + b w[n] - Y[n]  (n=1,2,…,N)
においてΣ(R[n]^2) が最小になる解 (a,b)を計算すればよし。

Excelでやるんですと、

A1:ANにX[n]を入力。B1:BNにw[n]を入力。 つまり、一次式の係数を並べたN行2列の行列(これをJacobianと言いますんで、Jとしましょう)をA1:BNに作る。

C1:CNにY[n]を入力。

E1:G2を選択した状態でE1に {=mmult(transpose(A1:BN), A1:CN)} これでE1:F2に J' Jを、G1:G2にはJ' Y を入れたことになります。(ただし、 ' は行列の転置という意味です。)

I1:J2を選択した状態でI1に {=minverse(E1:F2)} これでI1:J2に(J' J)の逆行列ができます。

L1:L2を選択した状態でL1に{=mmult(I1:J2,G1:G2)} すなわち、(J' J)の逆行列とJ' Yとの積がL1:L2に入ります。

で、答はL1=a, L2=b でやんす。

 なお、{ } ってのは、その内側の式をセルに入力しといて、数式の入力欄内にカーソルを入れた状態のまんまで [command]キーと[enter]キーを一緒に押す(のがMac。Windowsだとどうやるんだか忘れた。)と、勝手に{ } が付きます。

 この手なら、パラメータがもっと沢山ある場合の線形回帰もできますから、知ってて損はないでしょう。

ANo.2へのコメントについて。

> 線形回帰の関数slope, intercept等

 実はそんなの使ったことなくてですね、大抵いつも行列計算の関数でやってるんですよ。

 要するに
  r[n] = a x[n] + b - y[n]   (n=1,2,…,N。a, bが未知数、r[n]は残差、x[n],y[n]は値が分かっている。)
においてΣ((w[n]r[n])^2) が最小になる解 (a,b)を計算したい。(ただしw[n]は値が分かっている。)ということは
   w[n]r[n] = a w[n]x[n] + w[n]b - w[n]y[n]  (n=1,2,…,N)
においてΣ((w[n]r[n])^2) が最小になる解 (a,b)を計...続きを読む

Qワイブル分布

物の故障などに使われる、ワイブル分布
について教えて下さい。よろしくしくお願いします。

Aベストアンサー

以下のURLを見てください。

参考URL:http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/weibull.html

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よろしくご教授願います。

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#1に書いたように,標準偏差というのは,もともと正規分布とは無関係な概念です.意味は,平均の周りの2乗モーメントってことです.
正規分布での3σに99.7%ていうのに対応して,任意の確率分布で成り立つチェビシェフの不等式っていうのがあります.
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/cebysev/cebysev.htm

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エクセルでワイブル分布を求めました。
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よろしくお願いします。

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Excelの=WEIBULL(X,α,β,TRUE)では、ワイブル累積分布関数を
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そこで、この逆関数を考えます。
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明日は確率のテストです。普段授業を聞いてないので勉強していて簡単な問題で躓いてしまいました。簡単だとは思いますが教えてください。

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Aベストアンサー

お~おめでとうございます!!
全部できましたか?
もう今日ですが,テスト頑張って下さい!!

Qワイブル分布の確率密度関数と累積分布と関係

初歩的な質問で申し訳ないのですが、どうしてもわからないので
質問させていただきました。

ワイブル分布で、故障率をプロットしたいのですが、
このときエクセルのワイブル関数で確率密度関数と累積分布をプロットすると、
以下のような数字になります

x累積分布関数      x確率密度関数
0 0.0%      00.0%
0.30.1%     0.30.7%
0.60.8%     0.65.4%
0.94.0%     0.917.5%
1.212.2%     1.237.9%
1.527.1%     1.561.5%
1.848.1%     1.875.7%
2.170.3%     2.168.7%
2.487.4%     2.443.5%
2.796.4%     2.717.8%
3 99.4%      34.3%
3.399.9%     3.30.5%
3.6100.0%     3.60.0%

確率密度関数の値を累積したものが累積分布になると思っていたのですが、
累積分布の値はそのような数字になりません。

確率密度関数の値を累積したものが累積分布にならないのはなぜでしょうか。
それぞれの使い方が違うのでしょうか。

そうであれば故障率としてはどちらを使えばいいのでしょうか。

本当に初歩的な質問で申し訳ございませんが、ご教授いただきたくお願い申し上げます。

初歩的な質問で申し訳ないのですが、どうしてもわからないので
質問させていただきました。

ワイブル分布で、故障率をプロットしたいのですが、
このときエクセルのワイブル関数で確率密度関数と累積分布をプロットすると、
以下のような数字になります

x累積分布関数      x確率密度関数
0 0.0%      00.0%
0.30.1%     0.30.7%
0.60.8%     0.65.4%
0.94.0%     0.917.5%
1.212.2%     1.237.9%
1.527.1%     1.561.5%
1.848.1%     1.875.7%
2.170.3%     2....続きを読む

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中心極限定理を勘違いして覚えているようですね。
  任意の分布の母集団から取ったサンプルが正規分布に近づく
のではなく、
  任意の分布の母集団から取ったサンプルの平均値の分布が正規分布に近づく
のです。


例えば、二項分布からサンプルXiを100個取って、その平均Y1を計算します。
再び、二項分布からサンプルXiをさらに100個取って、その平均Y2を計算します。
三度、二項分布からサンプルXiをさらに100個取って、その平均Y3を計算します。
このような計算を繰り返して、引き続きY4,Y5,Y6,...を計算します。

すると、この平均値Yiは正規分布に従います。
もちろんサンプルXiは元の二項分布に従っています。

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指数分布族は対数尤度関数がLL(θ,φ)={xθ-A(θ)}/φ + c(x,φ)という共通のかたちをもつそうです(θはcanonical parameter,φはdispersion parameterと呼ばれるものです)。ワイブル分布の確率密度関数が
f = k λ^(-k) x^(k-1) exp[-(x/λ)^k]と書けるときに、対数尤度関数は
LL = k ln(x/λ) + ln(k/x) - (x/λ)^k になりますが、このときに、θ、φ、A(θ)、c(x,φ)はそれぞれどのように書けるのでしょうか?(c(x,φ)はexplicitに書けない??)ご存知のかたがいらっしゃいましたらお教えいただけると助かります。

念のため上の式をTeX形式で書くと
f=k\lambda^{-k}x^{k-1}\exp\left[-\left(x/\lambda\right)^k\right]
LL=k\ln\left(x/\lambda\right)+\ln\left(k/x\right)-\left(x/\lambda\right)^{k}
となります。

指数分布族は対数尤度関数がLL(θ,φ)={xθ-A(θ)}/φ + c(x,φ)という共通のかたちをもつそうです(θはcanonical parameter,φはdispersion parameterと呼ばれるものです)。ワイブル分布の確率密度関数が
f = k λ^(-k) x^(k-1) exp[-(x/λ)^k]と書けるときに、対数尤度関数は
LL = k ln(x/λ) + ln(k/x) - (x/λ)^k になりますが、このときに、θ、φ、A(θ)、c(x,φ)はそれぞれどのように書けるのでしょうか?(c(x,φ)はexplicitに書けない??)ご存知のかたがいらっしゃいましたらお教えいただけると助かります。

念の...続きを読む

Aベストアンサー

あまり統計は専門とは言いがたいので、参考にならないかも知れませんが、僕の知る限り、指数分布族というのは次のように定義されている本がほとんどでした。ただし1母数に限定して書いてみます。

(i) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)θ-A(θ))
(ii) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)η(θ)-A(θ))

上のタイプよりも下のタイプの方が広い分布を含みますが、いずれも指数分布族と呼んでいるように思います。質問者様が書かれているタイプだと、

p(x|θ,φ)=exp(c(x,φ))exp({xθ-A(θ)}/φ)

ですから、要するに(i)タイプで、しかもt(x)=x/φと書けるものに限定しているようです。ただφは自然母数とは違う扱いをしているようなので、p(x|θ,φ)のようには書かない方がよいかもしれません。2母数指数分布とは違う意味で使っていると思われます。

ワイブル分布のkは未知母数ではなく、既知母数であると仮定して指数分布族の形にするには、

p(x|λ)=(kx^{k-1})exp(-x^k λ^{-k}-klog(λ))

とみて、(ii)タイプのh(x)=kx^{k-1}、t(x)=x^k、η(θ)=-θ^{-k}、A(θ)=-klog(λ)と思えばよいことになりますが、単にdispersion parameterを用いるだけでは、あなたのおっしゃるような形には変形できないと思います。というのは、x^kというようにexpの中にxのk乗が入ってくるから。同時に(i)タイプでも書くのは不可能で、より広い(ii)タイプの指数分布族になると思います。もし未知母数を-λ^{-k}だと思ってやると、

p(x|-λ^{-k})=

の形で書けば、何とか(i)タイプで記述できますが、やはりx^kが残るので、t(x)=αxのようなリニアなtでは記述できないものと思われます。

あまり統計は専門とは言いがたいので、参考にならないかも知れませんが、僕の知る限り、指数分布族というのは次のように定義されている本がほとんどでした。ただし1母数に限定して書いてみます。

(i) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)θ-A(θ))
(ii) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)η(θ)-A(θ))

上のタイプよりも下のタイプの方が広い分布を含みますが、いずれも指数分布族と呼んでいるように思います。質問者様が書かれているタイプだと、

p(x|θ,φ)=exp(c(x,φ))exp({xθ-A(θ)}/φ)

ですから、要するに(i)タイプで、しかもt(x)=x/...続きを読む

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Aベストアンサー

はい、その通り。


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