以前ある学者が本の中で
「いいですか、完成された数学とはどのような
 ものでしょうか?完成された数学とは
 おそらく・・・」
と、言っていたのを読んでずっと気になっています。
しかもその先が書いてありませんでした。
完成された数学ってどんなものでしょうか?
また、検索エンジンを使って自分でも調べたいので
どの検索エンジンでどんな語句を入れればいいかも
教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

stomachmanさんの回答を含め、大抵の数学者が、


数学、すなわち、形式主義
という立場を、あたりまえのように取っている、
という点を指摘しておきましょうか。
(stomachmanさんも、はじめに断っておられるように)

これに全幅の信頼を寄せると、
形式主義の限界、すなわち、数学の限界、ということになるわけです。(そして、その意味における、「完成された数学」の失敗)

じゃ、形式主義以外の、なにをもって、数学とするのか、


俺は、あんまり詳しくないので、どうしようにも答えられませんが、
そこらへんのことを、
stomachmanさんのような有識者に、
に突っ込んで聞いてみるのも、
「完成された数学とはどのようなものでしょうか?」
という質問の
解決のなんらかの糸口になるかもしれません。
    • good
    • 0

 現代の数学は大抵、形式主義を取っています。


すなわち、論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と、推論規則とを定めて、公理から推論規則で導ける論理式を定理と言います。そしてその定理全体の集まりを理論と呼んでいます。証明というのは、公理から出発して、推論規則を繰り返し適用し、定理を導き出す過程を書いたものです。(詳しくは下記URLをご参照下さい。)こういう基本的なルールをどう定めるのが良いか、ということを研究する分野を「数学基礎論」と言います。

 従って、「完成された数学」とは、或る論理式の文法を決めた形式的言語と、幾つかの公理と推論規則を定めてあって、公理から推論規則で導ける論理式が全て網羅されている、ということでしょう。言い換えれば、どんな論理式を与えられても、それが定理であるか、定理でないかが必ず判定できる。さらに別の言い方をすると、論理式Aを入力すると定理であるかどうかを自動的に判定するようなプログラムが書ける。「完成された数学」とは、そういう体系のことでしょう。

 ところが、クルト・ゲーデルは数学自身の性質を数学的に解析し、不完全性定理を発見しました。どういうことかと言うと
「自然数を扱うことが出来るような形式的体系においては、必ず、或る論理式Aが存在して、Aが定理であるか、定理でないかが、その体系の中では決定できない。」
つまり、公理と推論規則を使ってAを証明することも、Aの否定(¬A)を証明することもできない。
 従って、「無限」を扱えるような体系(必然的に自然数も含まれることになります)は、「完成された数学」にはなり得ないんです。

かくて、検索すべきキーワードは「不完全性定理」「無限」「数学基礎論」「ゲーデル」「ヒルベルト」「形式主義」などなど。OK Web(教えてgoo)の中だけでも沢山ヒットがあると思いますよ。ただし不完全性定理については一知半解、オカルトやらいい加減な話も多いのでご注意。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=43691
    • good
    • 0
この回答へのお礼

詳しいレスをありがとうございます。
じしんあり、とはにくいですね。
大学院生か何かですか?
20ポイント差し上げます。

お礼日時:2001/06/29 23:09

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q【数学】2次方程式の「次」、2元2次方程式の「元」、平方根完成の「完成」ってどういう意味ですか?

【数学】2次方程式の「次」、2元2次方程式の「元」、平方根完成の「完成」ってどういう意味ですか?

Aベストアンサー

2次: 項の変数のべき数の和の最大値が2
2次式の例xy, x^2+y, x^2+y^2+xy
2元: 未知数が2個
平方根完成ではなくて、平方完成です。
いろいろバリエーションがあるのですが
よく使うのは
2次関数 f(x)=ax^2+bx+c を a(x+p)^2+q という
標準形に直すことですね。

Q数3の積分について数学3初学者ですが、よろしくお願いいたします。数学3の積分では数学2と違い、

数3の積分について

数学3初学者ですが、よろしくお願いいたします。
数学3の積分では数学2と違い、整関数以外の積分を扱いますが、微分と違い型にはまったものでなければ計算できないという性格上、「この形には部分積分、あの形には置換積分」といった具合に型を覚える必要があるのでしょうか?
手元の参考書には「一目でわかる積分フローチャート」というのがコラムにありますが、かなり手順が多く、仮にこれを覚えても本番で飛んでしまいそうです。
これはあの型だ、と意識するよりも、問題数を多くこなして経験として反応できるようになるべきなのでしょうか。
参考書例題には問題の上に「置換積分」などのタイトルがあるのでその問題1つ1つを解くことはできますが、本番のようにランダムに出題されるとどの方法で積分すれば良いかすぐに判断ができません。
とりあえず置換積分してみて、うまくいかず、部分積分したら、あぁうまくいった、といった具合です。
本番でこれでは当然時間の無駄ですよね。
皆さんは、どのように学習されておられたでしょうか。

Aベストアンサー

> とりあえず置換積分してみて、うまくいかず、部分積分したら、あぁうまくいった、といった具合です。

それで良いです。
中学か高一かで、図形問題をやったと思います。
三角形が相似だからとか、こことここの角度は同じだからとか、特に補助線引っ張ったらどうなるとか。
これ、「試行錯誤」して解いたはずです。
解答解説にあるように、答えが一発で浮かんだわけではないでしょう。
だから、答えを覚える、解法を覚える、といっても、仰るように限界があるんです。それもすぐに。
大事なのはちゃんと試行錯誤することです。数学の試験では、ちゃんとそういう時間が取れるようになっています。
解法を丸暗記したところで、余程の眼力がない限り、解法を一発で当てはめてみせることは困難です。
難関大学の問題に至っては、どの解法パターンが使えるのかまず見えないように、地面に埋めてある感じです。
あちこち掘ってみないと解法パターンが見つからない。解法パターンを適用する段になって、半分から7割くらい終わっている感じ。
それに、問題の解法って、一つだとは限らないんです。
何とかの解法でも解けるけれど、何とかの解法でも解ける。どっちかなら楽だったり、どっちかなら大変だったり。
どっちかを思いつかなかったり、思いついたけれどその解法パターンは忘れていて、他の解き方をすることもある。
試行錯誤。時間の無駄なんてとんでもない。
試行錯誤して演習を積み重ねることで、あ、こっちの方が楽、となることならありますが、最初から時間の無駄なんてことを言っていると、とっても危険。
だって、置換積分をして上手く行かず、部分積分をしたら上手く行った、と経験できた、知ることができたじゃないですか。
痛い目に遭って、あぁそうか、というのと、フローチャートになぜかそう書いてあるからそう、というのとで、違うでしょう。
後者でできれば、その方がひょっとすると賢いのかもしれませんが、しかし、やってみて上手く行かなかった、やり方を変えたら上手く行った、という風景を見ておくことは大事だと思うんですがね。

> とりあえず置換積分してみて、うまくいかず、部分積分したら、あぁうまくいった、といった具合です。

それで良いです。
中学か高一かで、図形問題をやったと思います。
三角形が相似だからとか、こことここの角度は同じだからとか、特に補助線引っ張ったらどうなるとか。
これ、「試行錯誤」して解いたはずです。
解答解説にあるように、答えが一発で浮かんだわけではないでしょう。
だから、答えを覚える、解法を覚える、といっても、仰るように限界があるんです。それもすぐに。
大事なのはちゃんと試行錯誤...続きを読む

Q数学、割引率の問題【おそらく簡単】

こんにちは。
今就活のために数学の問題を解いているのですが、
恥ずかしながら全然…分からず、質問させていただきます。
たぶん、ものすごく簡単なことなんですが、お願いします…!

問題は、

1冊900円の雑誌を定期購読したとき、
年間契約(50冊)は29250円である。
定価に対する1冊あたりの割引率は、
半年契約のほうが年間契約より、15%小さい。
このとき、半年契約(25冊)は●●円になる。


で、●●円を求めるのですが、
解答は

年間契約1冊につき、定価の何割を払うかは、
(29250÷50冊)÷900円=0.65  …A

半年契約の総額は、
Aに15%上乗せ(0.65+0.15=0.8)した価格で、25冊分、
900円×0.8×25冊=18000

答え=18000円

となるんですが……

……あの、なんで、上乗せするんですか?
「半年契約のほうが年間契約より、15%小さい」ん、ですよね?
それじゃあ、ひくんじゃ、と思ってしまうんですが…

ほんっとにあほですみません。
教えていただけると嬉しいです…。

こんにちは。
今就活のために数学の問題を解いているのですが、
恥ずかしながら全然…分からず、質問させていただきます。
たぶん、ものすごく簡単なことなんですが、お願いします…!

問題は、

1冊900円の雑誌を定期購読したとき、
年間契約(50冊)は29250円である。
定価に対する1冊あたりの割引率は、
半年契約のほうが年間契約より、15%小さい。
このとき、半年契約(25冊)は●●円になる。


で、●●円を求めるのですが、
解答は

年間契約1冊につき、定価の何割を払うかは、
(29250÷50冊...続きを読む

Aベストアンサー

> 「半年契約のほうが年間契約より、15%小さい」ん、ですよね?

「何が」15%小さいと書いてありますか?
普通、年間契約の方が値段は安いはずですよね。

> 年間契約1冊につき、定価の何割を払うかは、
> (29250÷50冊)÷900円=0.65  …A

0.65は割引率ではありません。
年間契約の「値段の割合」が定価の0.65(65%)です。
つまり年間契約で「割引」されるのは0.35(35%)ですよね。

> 定価に対する1冊あたりの割引率は、
> 半年契約のほうが年間契約より、15%小さい。

よって半年契約の「割引」率は0.35 - 0.15 = 0.20(20%)ですよね。
そうすると半年契約の「値段の割合」は定価の0.80(80%)になります。

「割合」と「割引」の意味の違いに注意してみて下さい。

Q高校数学、必要十分性(初学者)

x=αを含む区間でf‘‘(x)が連続の時、(1)f‘(α)=0、f‘‘(α)<0⇒f(α)は極大値(2)f‘(α)=0、f‘‘(α)>0⇒f(α)は極小値
と教科書にあるのですが、この逆が成り立つのかと思って証明を考えました。
f(α)で極大値をとるならば、f‘(α)=0、αではf‘(x)が増加から減少へと変化するので、f‘‘(α)<0ゆえに逆は成り立つ。と考えたのですが、今度はf(α)で極大値⇒f‘(α)=0の逆は成り立たないので、上の「f(α)で極大値をとるならば、f‘(α)=0」の部分の十分性が心配になりました。論理というものを理解していない質問だったらごめんなさい。

Aベストアンサー

f(x) = x^3  (0≦x≦1)
のとき、
f(1)=1は極大値です。

~~~~~~
f(x) をRn の部分集合 A で定義された(つまり n 変数の)実数値関数とする。x0 のある ε-近傍が A に含まれ、f(x0) がその近傍に属する任意の点 x に対して f(x0) ≥ f(x) を満たすとき、f(x) は x0 において極大になるといい、f(x0) を極大値という。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4
~~~~~~

x0の近くにf(x0)<f(x)を満たすxが存在しなければ、
f(x0)は極大値。

つまり、
「x=αを含む区間でf‘‘(x)が連続の時、(1)f‘(α)=0、f‘‘(α)<0⇒f(α)は極大値(2)f‘(α)=0、f‘‘(α)>0⇒f(α)は極小値」
の逆は成り立たない。

Q立方完成,N乗完成は存在するの?

数学で平方完成というのがありますが、それなら立方完成というのは存在するのでしょうか?
また、4乗完成や5乗完成というのは存在するのでしょうか?

Aベストアンサー

 平方完成では、例えばxに関する二次式を (x+a)^2 + b という形に変形します。

 一般的には、x^2 + ax + b = (x + a/2)^2 + (b - a^2/4)

※ 最後の(  )はなくてもいいのですが、定数項をまとめてあります。
※ x^2 の係数が 1 でないときは、全体をその係数で割ったもので考えればよい。

 さて、「立法完成」というのを、「xに関する3次式を  (x+a)^3 + b というかたちに変形する」ということとすれば、一般的にはできません。
  (x+a)^3 + bx + c のように、あまりをxの一次式にするならできます。

x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a/3)^3 + (b - a^2/3)x + (c - a^3/27)

これは、x^3 + ax^2 + bx + c というしきと、(x + p)^3 を展開した式とを比べればでてきます。

4次式以上でも同じようにできるはずですから、考えてみてください。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報