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大学の微分積分です。
(3)は何故この部分分数展開から始めると判るのでしょうか。

「大学の微分積分です。 (3)は何故この部」の質問画像

A 回答 (4件)

今気付いたのですが、質問の答えになっていませんでした(^^;)


分子がxの1次式ですよね。
だから、次数が1だけ違うもので分ければよいって事です。
つまり、
(x-1)/(2-x)^4 = a/(2-x)^3 + b/(2-x)^4
とおいて、a,bを求めます。
次数が1違うと言っても
(x-1)/(2-x)^4 = a/(2-x)^4 + b/(2-x)^5
なんてのはダメですよね・・・何故って、通分すると分母が5次式になるからです。

No2で解答したやり方も含めて理解してみて下さいね(^^)
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この回答へのお礼

何回も解答して頂きありがとうございました!

これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2017/04/07 16:43

3) の前に、2/(xー1)(x^2+1) =a/(xー1) + (bx+c)/(x^2+1) の場合ですが、



左辺の第一項 は、通分すれば、a(x^2+1)とx^2が出てきます!
部分分数展開するには、互いに打ち消し合うようにするには、全体として、
x^2の項をけすことができませんので、後ろの項を、bx+c とおくことで消しています!

3) (xー1)/(2ーx)^3 =a/(xー2)^2 + b/(xー2)^3 とおけば、
同様に、通分すれば、第一項は、a(xー2) となり、xー1 になるためには、十分な置き方と思います。もし、ダメならば、分母の置き方を変えるべきと思います。

ですから、例えば、(xー1)/(2ーx)^4 =a/(xー2)^3 + b/(xー2)^4 と置けばいいと思います。
1/(2ーx)^4=a/(xー2)^3 +(bx+c)/(xー2)^4 と置けばいいのではないでしょうか?
分子の状況によって、置き方は、変わると思います。数学は、理解すれば、自ずとわかるのではないでしょうか? きっと今までの勉強方法に問題あるのでは!と思います。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました!

ベストアンサーは、早い人に付けさせて頂きました!

これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2017/04/07 16:44

有り体に言うと、計算手段として知っておかなければならない事です(^^;)



(x-1)/(2-x)^4の場合は、分子を変形します。
ー{(2-x)-1}/(2-x)^4 = -(2-x)/(2-x)^4 + 1/(2-x)^4 = -1/(2-x)^3 + 1/(2-x)^4
とします(^^)
ちなみに、写真の問題でも
(x-1)/(2-x)^3 = -{(2-x)-1}/(2-x)^3 = -1/(2-x)^2 + 1/(2-x)^3 = -1/(x-2)^2 -1/(x-2)^3・・・分母の引き算の順番が変わっている事に注意
とできます(^^)
写真のポイントに書かれているやり方も、もちろんマスターすべきなのですが、
分子が簡単な式の場合、上に書いたように、分子を分母の形が出てくるように式変形して分解する事もマスターして下さいね。
この問題の場合は、上に書いた方法の方が簡単かも知れません(^^)

参考になれば幸いです(^^v)
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これは、被積分関数が有理関数(つまり、ただの分数式)の場合の”お決まり”の手段の1つだからです(^^)


もちろん、1/x とか 1/(1+x^2) を積分するときは、この方法は使えません・・・これらの積分結果は、公式になっていますね。
こういう例を除けば、有理関数を積分する手段としてよく使われるんです(^^)
有理関数の積分が出てきたら、まず部分分数に展開できないか考えて、無理そうだったら他の手段を考えるって事です。

参考になれば幸いです(^^v)
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この回答へのお礼

毎度毎度ありがとうございます。m(_ _)m
言い方は悪いですが、覚えなければならないということでしょうか。
あと、この分母が4乗の場合の分け方を存知あげるならそれも教えて欲しいです!

お礼日時:2017/04/05 17:19

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