2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt の解き方について

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdtの解き方がわかりませんorz

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt
=2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n [-1/n cosnt][0→x]

ここまではわかるのですが

=2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n^2 (-cosnx+1)

になる理由がわかりません。

私は(-cosnx+1)ではなく
（-cosnx+1/n）になるものだと思っていました。
自分が変な間違いをしているのだと思いますが、わからないままを放置したくないので
教えていただけると幸いです。＞＜
（高校生でもわかる説明でよろしくお願いしますorz）

初めて積分について質問したので、表記が間違ってたらすみません。

質問者からの補足コメント

• あとでまたやっていたら、自己解決しました；；
  私がただ単に1/nをきちんとくくりだししてなかったみたいです。
  ですが、回答してくださった方ありがとうございましたorz
  
  わかりにくいとのことがあったので。写真ではありませんが
  ペイントで描いてみました。
  今度質問するときはこうやってのせておきますねorz

  
    補足日時：2017/04/08 23:39

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/09 12:53

No.2です。

手書きの式と問題文の式は、ふつうに読めば一致しませんよ。

問題文の式は、演算順序からして

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt
= [ 2Σ(n=1~∞)(-1)^n ] + (1/n)∫[0→x]sin(nt)dt

としか読めません。
No.2 はこの解釈での回答です。
結果的に、疑問には答えていると思いますが。

手書きのように読んでほしければ

2Σ(n=1~∞){ [ (-1)^(n+1) ] / n } ∫[0→x]sin(nt)dt

と書くべきでしょうね。

こういうところの「センス」をないがしろにすると、正しい理解に至らないことがあり得ますから、注意した方がよいです。「正確さ」「厳密さ」はけっこう大事です。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます！
　わかりました。お手数かけましたが、
　これからは注意して書くように心がけます。

お礼日時：2017/04/09 19:50

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/08 23:33

単に

　(1/n)∫[0→x]sin(nt)dt
を求めればよいということですか？　1項目の無限級数は別に計算すればよいということで。

nt = u とおけば、t=u/n なので
　dt/du = 1/n
t:0→x は u:0→nx となる。

従って
　∫[0→x]sin(nt)dt
= ∫[0→nx]sin(u)(dt/du)du
= (1/n)∫[0→nx]sin(u)du
= (1/n)[ -cos(u) ][0→nx]
= (1/n)[ -cos(nx) + cos(0) ]
= (1/n)[ 1 - cos(nx) ]

「置換積分」を使っています。
http://mathtrain.jp/substitutionint

よって、
　(1/n)∫[0→x]sin(nt)dt = (1/n²)[ 1 - cos(nx) ]

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
　置換積分を使うんですね（・・）
　勉強になります。

お礼日時：2017/04/08 23:51

No.1 回答者： bilateraria165 回答日時： 2017/04/08 23:19

問題そのものをスマホか何かで撮影したものをアップすることはできますか？

積分、無限級数が混ざっていて、かつテキストで書き起こしていただいた数式がどうも怪しそうで。。

この回答へのお礼

スマホでは撮影できなかったので。ペイントでのせてみました。
多分自己解決しましたが、間違っていたらご指摘願います。

お礼日時：2017/04/08 23:58