『低角XOY内の1点Aから出た光線がOXに当たり反射し、その反射光線がOYに当たり再び反射する。この2度目の反射光線と最初Aから出た光線とのなす角は常に一定であることを証明せよ。』

この問題が分かりません。途中の過程がよく分かるように証明していただけるとありがたいです。お願いします。

A 回答 (2件)

図を書いて一度考えてみましたか?



Aから出た光が、頂点Oに向かっていく方向に出た時は、こんな感じです。
(1)XOYのなす角をα°とします。
(2)定点Aから、OXに対してβ°の角度で光を発したとします。つまり、
この光がOXに当たる点をBとすると、角ABXがβ°になるということです。
(3)さて、Aから出た光ABが半直線OXで反射するとして、その反射光がOYと
交わる点をCとします。すると、角CBO=角ABX=β°です。
(4)三角形OBCに着目します。三角形の内角の和は180°ですから、角OCB=
(180-α-β)°になります。
(5)反射光BCがOYで再度反射します。点Cで反射して、線分ABと交わる点を
Dとします。さっきの(3)と同様に、角DCY=角BCOですから、(180-α-β)°
です。
(6)ここで、三角形BCDに着目します。角DBC=(180-2β)°です。また、
角BCD={180-2x(180-α-β)}°=(2α+2β-180)°です。
(7)2度目の反射光線CDと最初Aから出た光線ABのなす角度は、角CDBなので、
三角形の内角の和-角DBC-角DCB=180-(180-2β)-(2α+2β-180)=
(180-2α)°になります。
(8)つまり、点Aからどんな角(β)で光が出ようとも、問題の角はβとは
無関係に(180-2α)°になります。

図を書きながらだと分かると思うのですが。
もし不安なら、点Aから出る光がOから遠ざかる方向のときも同じように考えて
みてはいかがでしょうか。
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鏡の問題は元の図形を鏡を軸にパタっと倒してやれば光線は直線で表されるので、


この場合だとYをOXを軸に対称点へ移した点をY’、XをOY’を軸に移した点をX’として
角XOYの中から角Y’OX’の外まで半直線をビーっと引いてやれば、あとは簡単な中学の数学です。

この手の問題は東大模試にも応用されていて正方形OABCのOにある光源から辺に4回反射してBにたどり着く光路の数を求めよなんて問題もあります。

東大受験用にも中学生用にも応用できてしまうのはやわらか頭の典型の1つですね。
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Qエルランゲン・プログラムでの数論幾何学の位置付け

エルランゲン・プログラムは、幾何学を集合(空間)に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量(不変式)を扱うものだという指針ですが、
数論幾何学においては、どんな集合(空間)、変換群、不変量(不変式)を扱っているのですか。

それとも、数論幾何学は、代数幾何の手法を用いた数論の意味合いでしょうか。

Aベストアンサー

数論幾何学とは何かすら知らない素人です。エルランゲン・プログラムには哲学的な興味があります。質問の意図もわからないので、以下は的外れかもしれません。

Eilenberg and Mac Lane, 1945 に、こうあります: "[General theory of natural equivalences] may be regarded as a continuation of the Klein Erlanger Programm, in the sense that a geometrical space with its group of transformations is generalized to a category with its algebra of mappings." つまり「空間とその変換群」という指針は現代では「圏と関手」に置き換わっています。

ということは数論幾何学なる分野でも同様に、空間とその変換群という枠は現代ではもっと広がっている、のだろうと想像します。

Q数Aの証明問題の「~を証明せよ」という問題で、

最後に、「よって、~は成り立つ。」とか書きますけど、これを「よって、題意は示された。」って略していいんですか?

うわさで、「題意は示された」って書き方は良くないって聞いたんですが、本当ですか?

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その表現で、言いたいことは十分伝わると思います。
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その辺は、数学というより、処世術または
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Q幾何学って?

最近仕事で幾何学が出てきました。
幾何学とは何でしょうか?学生の時は全く勉強しておらず、
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過去の質問を確認すると○○幾何学と色々あるようなのですが、
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すみませんが、幾何学を文系の私にでも分かりやすく教えて下さい。

よろしくお願い致します。

谷上

Aベストアンサー

高校までで学習する数学の中の「幾何学」は、ユークリッド幾何学だと思います。
http://www.foruma.co.jp/index_k.html
http://www.seibunshinsha.co.jp/books/ISBN4-7922-0010-5.html
お仕事で必要となる「幾何学」について、何か情報をいただけると、回答がたくさん寄せられると思います。

Q次の二直線のなす角をΘとする時、sinΘ=1/√5となるようにaを定めよ

次の二直線のなす角をΘとする時、sinΘ=1/√5となるようにaを定めよ。
3x+2ay-2=0 ax+y+4=0

この問題わかりません。

法線ベクトルを用いるのか、傾きとtan(Θ2-Θ1)から加法定理を用いるのか、わかりませんでした。

法線ベクトルは、たとえば、3x-4y-1=0
x+√3y+2=0で、この二つの式からなす角をもとめよという問題なら
n1→=3.-4) n2→=(1.√3)
として、
cosα=n1・n2 / |n1| |n2| を用いて解いていたのですが、今回だと

2x+2ay-2=0 は n1=(2.2a)
ax+y+4=0は n2(a.1) とするのでしょうか??

ただ、sinΘ=1/√5として、aを求めると問題ではとわれているので、
この場合、CosΘを求めて
sinΘ2+cosΘ2=1の公式などを。利用するのでしょうか??でも、それでやってもaは求められない気がします。。

あとtan(Θ-Θ')は何度教科書を読んでも難しくて
この問題に使うとしても、どのようにしたらよいのか出来ませんでした>_< 誰か教えてください。
宜しくお願いします

次の二直線のなす角をΘとする時、sinΘ=1/√5となるようにaを定めよ。
3x+2ay-2=0 ax+y+4=0

この問題わかりません。

法線ベクトルを用いるのか、傾きとtan(Θ2-Θ1)から加法定理を用いるのか、わかりませんでした。

法線ベクトルは、たとえば、3x-4y-1=0
x+√3y+2=0で、この二つの式からなす角をもとめよという問題なら
n1→=3.-4) n2→=(1.√3)
として、
cosα=n1・n2 / |n1| |n2| を用いて解いていたのですが、今回だと

2x+2ay-2=0 は n1=(2.2a)
ax+y+4=0は n2(a....続きを読む

Aベストアンサー

ただ、sinΘ=1/√5として、aを求めると問題ではとわれているので、
この場合、CosΘを求めて
sinΘ2+cosΘ2=1の公式などを。利用するのでしょうか??でも、それでやってもaは求められない気がします。。
------------------------------------------------
もう少しですね。よく考えましょう。

sinθ=1/√5となるようθを定める。
      ↓
cosθ=±2/√5であればいいですね。
とすれば
cosθ=n1・n2 / |n1| |n2| =±2/√5

となるようaを決めたらいいですね。

法線ベクトルの取り扱いは具体的な数字だろうとaだろうと変わりませんよ。

Q非ユークリッド幾何学が誕生したとき

数学、物理の初心者です。
「神は数学者か」マリオ・リヴィオ を読んでいます。

19世紀に非ユークリッド幾何学が誕生して数学の世界に革命が起きた、、、というところを読んでいます。
それまでは絶対的な真理とみなされていた幾何学が、厳密なものではなく経験に基づくものだとわかった。
ということですが、「経験に基づく」というのがいまいちよくわかりません。


ユークリッド幾何学が何千年もの間、空間の事を表す唯一の方法だと思われていた。
(これが「厳格なもの」が指しているところ?)

第五公準について、平行線は一本だけしか引けないのを証明できなくて、
「一本も引けない」(楕円幾何学)かも?
「たくさん引ける」(双曲幾何学)かも?
で非ユークリッド幾何学が出来たんですよね?
「経験に基づく」とはこのあたりのことを指しているんでしょうか?
具体的に「経験」って何でしょうか。


「厳格」と「経験」が意味する事がよくわかりません。

本をお読みでない方でも、もしかしたらわかる方がお見えかな?と思って質問させていただきました。
幾何学についてざっと調べては見たのですが、ヒントになりそうなものが見つけられませんでした。
よろしくお願いいたします。

数学、物理の初心者です。
「神は数学者か」マリオ・リヴィオ を読んでいます。

19世紀に非ユークリッド幾何学が誕生して数学の世界に革命が起きた、、、というところを読んでいます。
それまでは絶対的な真理とみなされていた幾何学が、厳密なものではなく経験に基づくものだとわかった。
ということですが、「経験に基づく」というのがいまいちよくわかりません。


ユークリッド幾何学が何千年もの間、空間の事を表す唯一の方法だと思われていた。
(これが「厳格なもの」が指しているところ?)

第五公準...続きを読む

Aベストアンサー

その本は知らないけど.

ユークリッド幾何そのものが
厳密なものではなく経験に基づくという意味でしょう.
実際,第五公準は経験則にすぎません.

ふつーに平行線を紙の上に書いたら同位角が等しい
という経験に基づいてるわけですから
(第五公準そのものは同位角とかいってないけど
本質的には同位角(錯角)が等しいことだといってよいのはいいでしょう).

んで・・・第五公準を証明しようとがんばったわけです.
そこで第五公準を否定して,
平行線が一本も引けない・いっぱい引けるってやっても
実は幾何が構築できるってわかってしまったわけです.
ロバチェフスキとかボヤーイがいろいろやって
ガウスがいかにもガウスらしい,いらんこといってたりするわけです.
ポアンカレもモデルを作ってますし,
リーマンなんかもいろいろやってるわけで
リーマンの話を応用してアインシュタインの一般相対論なんかがでてくるし,
ガウスなんかの話から曲面の曲率になって微分幾何が広がるわけです.

そういう意味ではまさしく革命ですね

=========
個人的には非ユークリッド幾何によるパラダイムシフトよりも
カントール辺りから始まってゲーデルとかコーヘンの辺りにいきつく
一連の流れのほうがより大きな革命だとは思う.

その本は知らないけど.

ユークリッド幾何そのものが
厳密なものではなく経験に基づくという意味でしょう.
実際,第五公準は経験則にすぎません.

ふつーに平行線を紙の上に書いたら同位角が等しい
という経験に基づいてるわけですから
(第五公準そのものは同位角とかいってないけど
本質的には同位角(錯角)が等しいことだといってよいのはいいでしょう).

んで・・・第五公準を証明しようとがんばったわけです.
そこで第五公準を否定して,
平行線が一本も引けない・いっぱい引けるってやっても
実は幾...続きを読む

QPがAと一致しないとき角BAPはつくれるかPがAと一致しないときのみ角BAPはつくれるかがただしいか。

長さ1の線分ABを直径とする円周上を動点Pが動くではPがAと一致しないとき角BAPはつくれるという文章はあっていますかPがAと一致しないときのみ角BAPはつくれるの方がただしいのでしょうか。PがAと一致しないとき角BAPはつくれるはPがAと一致するときは文章だけでは角BAPがつくれるかつくれないかは分からないのでしょうか。例えば仮に母国にいるときデーブ・スペクターさんが日本語を話すかどうか分からない場合、日本にいるとき日本語を話すか日本にいるときのみ日本語を話すでなければならないのでしょうか。数学の答案にPがAと一致するときのみとメモをかくのはだめでしょうか。

Aベストアンサー

数学の問題の状況がわからないので、
日本語の文章の問題として回答します。

「長さ1の線分ABを直径とする円周上を動点Pが動く」では
「PがAと一致しないとき角BAPはつくれる」という文章はあっていますか
「PがAと一致しないときのみ角BAPはつくれる」の方がただしいのでしょうか。

→両方とも正しいでしょうが、後者の方が厳密です。
(文脈によって使い分けられると思います)

「PがAと一致しないとき角BAPはつくれる」はPがAと一致するときは文章だけでは角BAPがつくれるかつくれないかは分からないのでしょうか。

→分かりません。
(「PがAと一致するとき」については何も言われていないからです)

例えば仮に母国にいるときデーブ・スペクターさんが日本語を話すかどうか分からない場合、
「日本にいるとき日本語を話す」か
「日本にいるときのみ日本語を話す」でなければならないのでしょうか。

→前者が正しくなります。
(母国で日本語を話すかどうか分からない以上、「日本にいるときのみ」と限定はできません)

数学の答案に「PがAと一致するときのみ」とメモをかくのはだめでしょうか。

→補足していただかないとわかりません。

数学の問題の状況がわからないので、
日本語の文章の問題として回答します。

「長さ1の線分ABを直径とする円周上を動点Pが動く」では
「PがAと一致しないとき角BAPはつくれる」という文章はあっていますか
「PがAと一致しないときのみ角BAPはつくれる」の方がただしいのでしょうか。

→両方とも正しいでしょうが、後者の方が厳密です。
(文脈によって使い分けられると思います)

「PがAと一致しないとき角BAPはつくれる」はPがAと一致するときは文章だけでは角BAPがつくれるかつくれないかは分から...続きを読む

Q大人で始める幾何学

30代目前ですが、
仕事関係で建築方面を勉強しなければいけません。

村野藤吾という有名建築家が
建築の素養は幾何学と文学にあるとのことで、

幾何学に挑戦したいと思います。
私自身大学も文系で数学はちっとも覚えておりません。
(理解していなかったような…)
こんな素人な私でも幾何学を勉強できる教材などがあれば
教えて下さい。

Aベストアンサー

「建築に役立つ幾何学」というと、私が大学で習ったものから挙げるならば「図学」が適しているのではないかと思います。
投影法など設計と直結する話ですし、基礎中の基礎かもしれませんが…。

当時の講義で参考書として挙げられていたのは以下です。(実際目を通してはいませんので参考までに)
『基礎応用 第三角法図学』森北出版 岩井実、石川義雄、喜山冝志明共著
『図形科学ハンドブック』森北出版 日本図学会


また、フィボナッチ数(および黄金比)は自然物の幾何において重要ですので、建築にもかなり役立つのではないでしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0


なお、単に素養を深めるという点では、個人的にはフラクタル幾何もたいへんお薦めです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB


幾何学全般の話ではありませんが、以上の分野に絞って学んでゆくのもよいのではないかと思われます。

「建築に役立つ幾何学」というと、私が大学で習ったものから挙げるならば「図学」が適しているのではないかと思います。
投影法など設計と直結する話ですし、基礎中の基礎かもしれませんが…。

当時の講義で参考書として挙げられていたのは以下です。(実際目を通してはいませんので参考までに)
『基礎応用 第三角法図学』森北出版 岩井実、石川義雄、喜山冝志明共著
『図形科学ハンドブック』森北出版 日本図学会


また、フィボナッチ数(および黄金比)は自然物の幾何において重要ですので、建築にも...続きを読む

Q行列の証明です Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいた

行列の証明です
Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいたらお願いします!

Aベストアンサー

左辺がA^nの逆行列で有ることを示せば良い。

正則行列Bに対して異なる逆行列C, Dが存在すると
C=CE=CBD=ED=D で矛盾。従ってある正則行列に対して
その逆行列は1つしかない。

A^n(A^(-1))^n=A^(n-1)AA^(-1)(A^(-1))^(n-1)=
A^(n-1)(A^(-1))^(n-1)=・・・=A^2A^(-2)=AA^(-1)=E

なので (A^(-1))^nはA^nの逆行列 つまり (A^n)^(-1)

Q楕円幾何学とは何ですか?

非ユークリッド幾何学について調べていたのですが、楕円幾何学という言葉をきいても具体例が乏しくてなんのことやらよくわかりません。
さわりだけでもよいので教えて頂けませんか?

Aベストアンサー

ユークリッド幾何の第五公準を
以下のものに置き換えたものです

一直線LとL外の一点pに対して
pを通りLと平行な直線は存在しない

これの例としてよくでてくるのが「球面幾何」です.
つまり,球面上で考える幾何です.
球面の中心を中心とし,球面上の二点x,yを通る円を考えます.
このとき短い弧xyを球面上の「直線」とします.
こうするとこれは「楕円幾何」の例になります.
球面の極率は正だということもポイントです.

もういっぽうの双曲幾何ですが・・
これはちょっと説明しにくい・・・
曲率が負ってのが言葉だけだとつらいですが
「馬の鞍」みたいな「ひっこんだ」イメージでしょうか.
これを球面モデルのような「モデル」で書いたものに
ポアンカレモデルとかミンコフスキモデルってのがあります.

Q放物線の入射角・反射角の計算

微積分の問題です。問題は英語で書かれています。

原文: Show that the angle of incidence equals the angle of reflection for the parabola y^2=4x at the point (0.5, √2). The angle of incidence is measured between the horizontal line through this point and the tangent line at this point. The angle of reflection is measured between the focal line to this point and the tangent line at this point. Note: The focus for this parabola is at (1, 0).

日本語訳: 放物線 y^2=4x 上の点(0.5, √2)での入射角と反射角が同じであることを証明せよ。入射角は、この点を通る水平線とこの点に対する接線との間の角度を指し、反射角は、この点への焦点線とこの点に対する接線との間の角度を指す。注意: この放物線の焦点は(1, 0)である (と訳してみました)。

先生は

tan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)|

を使え、とヒントをくれました。
でも解法は教えてくれませんでした。
自分でやったところまで書きます。
まず、ここでの水平線は y=√2 で良いですか?

放物線上の点(0.5, √2)から焦点(1, 0)への傾きは
y(1-0.5)=x(0-√2)
0.5y=-√2x
y=-2√2x
Y軸との交点 b は傾きに焦点の位置を代入して
0=-2√2*1+b
b=2√2
よってy=-2√2x+2√2x

放物線上の点(0.5, √2)の接線は
グラフを見ながら勘で y=√2x+√2/2 としてみると
なんとぴったりでした。
しかし、理由が分かっていません。

…分かるのはここまでです。
これから先はどうすればよいのでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

微積分の問題です。問題は英語で書かれています。

原文: Show that the angle of incidence equals the angle of reflection for the parabola y^2=4x at the point (0.5, √2). The angle of incidence is measured between the horizontal line through this point and the tangent line at this point. The angle of reflection is measured between the focal line to this point and the tangent line at this point. Note: The focus for this parabola is at (1, 0).

日本語訳: 放物線 y^2=4x 上の点(...続きを読む

Aベストアンサー

やり方が正しいか自信がないですが。

まず、放物線上の点(0.5, √2)の接線について、
放物線の式は y^2=4x で、点(0.5, √2)での傾きを調べたいので、x>0,y>0に限定して、 y=2x^(1/2)と変形します。
これをxについて微分して、y'=1/√x
よって、x=0.5=1/2での傾きは 1/(√1/2)=√2 とでます。
接線の式を y=√2x+p とおいて、x=0.5,y=√2を代入すれば p=√2/2となり式はy=√2x+√2/2 とでます。

入射角はこの接線の傾き(tan)そのものです。
反射角は接線y=√2x+√2/2 と焦点線y=-2√2x+2√2x のなす角です。
このtanを求めるヒントがtan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)| です。
つまり、反射角のtanが√2であることを示せば良いと思います。


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