f(x)がxの整式で、任意の実数xに対して関係式 f(2x)=2xf'(x)を、満たすとき、f(x)を求めよ。
わかる方、解説よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

f(x)のどの項が条件を満たすかを考えればよいので、


f(x)=a・x^n とおいてみると
f(2x)=a・(2x)^n=a・2^n・x^n
f'(x)=an・x^(n-1)
このときf(2x)=2x・f'(x)は
(左辺)=a・2^n・x^n
(右辺)=2x・an・x^(n-1)=2an・x^n より
2^n=2n この等式が成り立つnの項が関係式を満たすことになります。
つまり、n=1の項とn=2の項が含まれる整式が答えとなるので、No.2の方の式となります。
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f(x) = ax^2 + bx (b≠0 でa,bは実係数)

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どこまでわかってどこで困っている?

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Qx^m (mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由について

インターネット等で調べてみたのですが見当たらないので質問です。

『x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由』とこういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方(あれば)を教えてください。

また某pediaを参照すると『f(x)=0という多項式f(x)の次数を-∞と定義する。』とあったのですが、次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか?

f(x)=sinxはxで微分しても、第n次導関数において次数が0にならないためsinxは多項式ではない。と説明しているページも見かけたので正直混乱しています。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

>x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由

多項式の定義は単項式の有限な和というものが通常です。
xのマイナス乗は単項式の定義(定数・文字の有限積)を満たしていないのでこれを含む数式は多項式と言わないのでしょう。

>こういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方

(多項式)÷(多項式)には「分数式」という呼び方があります。

>次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか?

通常の定義では単項式の有限和ですので、次数も有限です。(定数ゼロのみ特例)

多項式の発展形として「級数」があります。
級数は数列の有限和または無限和です。
単項式と同じ形をしている数列の無限級数に対して、多項式と同様の次数を考えるならば「無限」となります。

しかし、「何のために次数を知るのか」を考えるならば、無限大の次数に意味があるとは思えません。
定数ゼロはゼロでない定数とは扱いを分ける必要がある場面がありますから、これを特別視することには意味があります。

>sinxは多項式ではない。

微分可能な関数はテイラー展開という方法で多項式による近似値を求めることができます。
微分が有限回しかできない(ゼロになる)関数では、テイラー展開は多項式と同じですが、sinxはそうではない(近似に過ぎない)という意味だと思います。

>x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由

多項式の定義は単項式の有限な和というものが通常です。
xのマイナス乗は単項式の定義(定数・文字の有限積)を満たしていないのでこれを含む数式は多項式と言わないのでしょう。

>こういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方

(多項式)÷(多項式)には「分数式」という呼び方があります。

>次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか?

通常の定義では単項式の有限和ですので、次数も有限です。(定数ゼロのみ特例)

多項式の発展...続きを読む

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2つの方程式 x^3+3x^2+5x+6=0 と x^2+x+k=0 について、2解を共有するときの実数kの値と、ただ1つの解を共有するときのkの値を求めなさい.

わかる方教えて下さい(´;ω;`)

Aベストアンサー

x^3+3x^2+5x+6=0 を因数分解すると(x+2)(x^2+x+3)=0
1つの解を共有する場合、f(x)=x^2+x+kとおくと、f(-2)=0となればよいので、それを解くとk=-2
f(x)=x^2+x-2=0の解はx=-2,1であるので、確かに1つの解を共有する。
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よって1つの解を共有するときk=-2、2つの解を共有するときk=3

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x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2・x・1/x=1^2-2・1=-1 ・・・・・ ①
x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3・x・1/x(x+1/x)=1^3-3・1・1=-2 ・・・・・ ②
または、
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-x1/x+1/x^2)=1(-1-1)=-2

①、② より
x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-x^2・1/x^2(x+1/x)=(-1)(-2)-1^2・1=2-1=1 ・・・・・ ③

x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-(x+1/x)=(-1)(-2)-1=2-1=1 ・・・・・(ア)
(x^2 と 1/x^2 が約分できるので(ア)でもよいと思います)

したがって、③ より
x^10+1/x^10=(x^5+1/x^5)^2-2・x^5・1/x^5=1^2-2・1=1-2=-1


まず、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab ・・・・・ (イ)

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) ・・・・・ (ウ)
(この問題に関しては、a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) を使ってもよい)
を使って、
x^2+1/x^2 と x^3+1/x^3 の値を求める。

次に、 (イ) を使えば、
x^10+1/x^10=(x^5+1/x^5)^2-2・x^5・1/x^5
であることから、
x^2+1/x^2 と x^3+1/x^3 を使って、x^5+1/x^5 の値を求める。

これで、x^10+1/x^10 の値を求めることができる。

a=x、b=1/x だから、ab=x・1/x=1 で定数になることに気付けばよいのでは?

x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2・x・1/x=1^2-2・1=-1 ・・・・・ ①
x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3・x・1/x(x+1/x)=1^3-3・1・1=-2 ・・・・・ ②
または、
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-x1/x+1/x^2)=1(-1-1)=-2

①、② より
x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-x^2・1/x^2(x+1/x)=(-1)(-2)-1^2・1=2-1=1 ・・・・・ ③

x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-(x+1/x)=(-1)(-2)-1=2-1=1 ・・・・・(ア)
(x^2 と 1/x^2 が約分できるので(ア)でもよいと思います)

したがって、③ より
x^10+1/x^10=(x^5+1/x^5)^2-2・x^5・1/x^5=1^2-2・1=1-2=-1


まず、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab ・・...続きを読む

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(x-2)(x-3) = 0
((x-2)(x-3)) ÷ (x-2) = 0 ÷ (x-2)
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x-3 = 0


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