この三相回路の力率を求めよ
という問題で、手書きの図のように求めようとしたら間違いでした。なぜこの考え方だとダメなのでしょうか

考え方は
コンデンサと抵抗の並列部の力率を求める
2Ωの抵抗は同相なので並列部の力率がそのまま回路の力率となる

と考えました。答えは0.873でした。
解説は回路のインピーダンスZを求め、cosθ=R/Zから求めていてこの求め方は理解できますが上記の求め方でなぜ答えが違ってしまうか(なぜダメなのか)分かりません

よろしくお願いします

「この三相回路の力率を求めよ という問題で」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • EはVとRIのベクトル和です

    「この三相回路の力率を求めよ という問題で」の補足画像1
      補足日時:2017/04/18 13:22

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A 回答 (3件)

#1,2のものです。



#2のお礼について
>どうもありがとうございます
補足のようなベクトル図になるでしょうか。
EとIのcosθが回路の力率です。よろしくお願いします

OK.
抵抗に流れる電流はIと同位相=抵抗の電圧降下は電流Iと同位相
ということです。
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この回答へのお礼

いくつも答えて頂きどうもありがとうございました!助かりました!

お礼日時:2017/04/18 18:18

#1のものです。



>力率とは電圧と電流の位相でもありますのでその見方をした場合手書きのベクトル図のようになり、
2Ωの抵抗は位相に関係ないので並列部の力率がそのまま回路の力率となるという考え方はどこを間違えているのでしょうか

ここで書いてある"電圧"とは回路全体にかかる電圧です。
つまり2Ωの抵抗とコンデンサと抵抗が並列化されたものが直列につながったもの全体にかかる電圧です。
気を付けないといけないのは2Ωの抵抗にかかる電圧は全体にかかる電圧と同相ではありません。抵抗に流れている電流の位相がずれているためこの抵抗にかかる電圧も位相がずれているのです。
この点を考慮すれば正確なベクトル図が書けるでしょう。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます
補足のようなベクトル図になるでしょうか。
EとIのcosθが回路の力率です。よろしくお願いします

お礼日時:2017/04/18 13:22

>2Ωの抵抗は同相なので並列部の力率がそのまま回路の力率となる


なりません。

なぜなら2Ωの部分でも電力を消費しているため、この電力が全体の力率を引き上げるからです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
電力の三角形を考えるとたしかにそうでした。指摘ありがとうございます

ひとつ分からないのですが、力率とは電圧と電流の位相でもありますのでその見方をした場合手書きのベクトル図のようになり、
2Ωの抵抗は位相に関係ないので並列部の力率がそのまま回路の力率となるという考え方はどこを間違えているのでしょうか

お礼日時:2017/04/18 10:29

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>X/(X^2+R^2)とZ/Rとどう結び付くのでしょうか

?? 力率は複素インピーダンスの実数成分を複素インピーダンスの絶対値で割ったもの。
複素インピーダンスの極表示の角度をθとすると cosθです。

Re(Z) = |Z|cosθ
Im(Z) = |Z|sinθ

という関係なので cosθ=Re(Z)/|Z|で力率が求まるのです。

アドミタンスを使っても同じ。
複素数の逆数は極表示で角度の符号が逆転するだけなのです。

Y=1/Z = |Y|cosθ' + j|Y|sinθ'={Re(Z)-jIm(Z)}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}
={|Z|cosθ-j|Z|sinθ}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}

→|Y|=1/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}=1/|Z|, θ=-θ'

なので、力率は Re(Y)/|Y| で求まります。

Re(Y)/|Y|=(1/R)/√((1/R)^2+(1/X)^2)
=X/√(X^2+R^2)

本来の定義からR/Z とか Z/R とかに逸れていってしまう心理が
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なぜこんなものに引きずられてしまうのでしょう?

>X/(X^2+R^2)とZ/Rとどう結び付くのでしょうか

?? 力率は複素インピーダンスの実数成分を複素インピーダンスの絶対値で割ったもの。
複素インピーダンスの極表示の角度をθとすると cosθです。

Re(Z) = |Z|cosθ
Im(Z) = |Z|sinθ

という関係なので cosθ=Re(Z)/|Z|で力率が求まるのです。

アドミタンスを使っても同じ。
複素数の逆数は極表示で角度の符号が逆転するだけなのです。

Y=1/Z = |Y|cosθ' + j|Y|sinθ'={Re(Z)-jIm(Z)}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}
={|Z|cosθ-j|Z|sinθ}/{Re(Z)^2-jIm(Z)^2}

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1/ (1/R1 + 1/R2 +++++ )

になるってまず覚える。

計算を繰り返すうちに、その意味や感覚が分かるようになる。
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=RE^2/R^2+2Rr+r^2
=E^2/R+2r+(r^2/R)
=E^2/(√R - r/√R)^2 + 4r

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かっこの中が0になるとき、Pは最大と解答に記載されていましたが、なぜPは最大になるのでしょうか?

∴√R=r/√R
∴R=r

それぞれの解説よろしくお願いします

画像は、解答冊子に記載されていたものです

Aベストアンサー

R+2r+(r^2/R)
= (√R)^2 + 2r + (r/√R)^2  ←式①としておきます
=(√R)^2 - 2r + (r/√R)^2 +4r と書き直します・・・もちろん、これを計算すると元の式に戻りますね。
すると
=(√R - r/√R)^2 + 4r ですね(^^)
なんで、こんな式変形をするかというと、分子の E^2 は一定であるから、Pが最大値になるときは、分母が最小のはずです。
ところが、式①のままだと、式①=(√R + r/√R)^2 = R + 2r + (r^2/R) の最小値は?ですね。
そこで、式を (・・・ - ・・・)^2 の形に書き直してしまおうと言うことです。
そうすると、明らかに(・・・ - ・・・)^2 の最小値は0ですよね(^^v)
そして、分母の最小値は 4r ・・・なぜかというと、(・・・ - ・・・)^2 は負の値にならないので、さっきも書いたとおり、この部分の最小値は0です
したがって、Pが最大になるときは、( )内が0であるから、
√R - r/√R = 0
のときで、分母が最小値 4r になるときである、
・・・です(^^)

ちなみに、写真の下の方に見えている(別解)のように、相加平均と相乗平均の関係を使って解くこともできます。
高校物理でのテクニックが必要な最大値・最小値の問題は、この程度なので、ここでマスターしておくといいですよ(^^v)
(1)式を(・・・ ー ・・・)^2 の形が出てくるように書き直す
(2)相加平均と相乗平均の関係を使う

R+2r+(r^2/R)
= (√R)^2 + 2r + (r/√R)^2  ←式①としておきます
=(√R)^2 - 2r + (r/√R)^2 +4r と書き直します・・・もちろん、これを計算すると元の式に戻りますね。
すると
=(√R - r/√R)^2 + 4r ですね(^^)
なんで、こんな式変形をするかというと、分子の E^2 は一定であるから、Pが最大値になるときは、分母が最小のはずです。
ところが、式①のままだと、式①=(√R + r/√R)^2 = R + 2r + (r^2/R) の最小値は?ですね。
そこで、式を (・・・ - ・・・)^2 の形に書き直してしまおうと言うことです。
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