二次関数の問題です。 （2）と(3)が分からないので教えて下さい

二次関数の問題です。
（2）と(3)が分からないので教えて下さい

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/04/19 03:03

(1)

f(1)=a・(-2)^2 -8=4a-8
頂点の座標(3,-8)
f(x)は比例定数aで下に凸のグラフになる。
これが前提として、

(2)
グラフを描いてみればわかるが、aがどんな値であっても線分ABの中点は同じ。
もっといえば、頂点とx軸が同じ座標になる。→中点Cの座標(3,0)
（仮にa=1としてみると、y=(x-3)^2 -8のx軸との接点の座標はA(3-√8,0),B(3+√8,0)となり、線分ABの中点Cは(3,0)になる）

AB=4になるためには、中点が(3,0)なので、A(1,0)、B(5,0)であることがわかります。
この時aは、座標Aを通ることから、f(1)=4a-8=0よりa=2であることがわかります。

(3)
(2)から、f(x)=2・(x-3)^2 -8
ここでf(2)=-6、f(3)=-8、f(4)=-6であり、
b>4なのでf(x)はx=bのときに最大値になると予想できます。
（これも実際にグラフを描いたほうがわかりやすいと思います）
よって、最大値M=f(b)=2・(b-3)^2 -8
当然ながら最小値はm=f(3)=-8

そして、M=|m|=8になるには、2・(b-3)^2 -8=8を計算すればよいのです。
2・(b-3)^2=16　→　(b-3)^2=8　→　b-3＝√8　→　b=3+√8=3+2√2

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/18 22:54

2) 点A(1,0) つまり、f(1)=0 より a=2

または、
AB=4より、(1,0),(5,0)を通るから
a (xー1)(xー5)=a(xー3+2)(xー3ー2)=a(xー3)^2ー4a より a=2 (∵ ー4a=ー8)

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/18 22:28

2) x軸とは、y=0 のことより

f(x)=0とおいて A＜B を求めると
a(xー3)^2ー8=0
∴ a(xー3)^2=8
a＞0より
∴ (xー3)^2=8/a
∴ xー3=± √(8/a)
∴ x=3±√(8/a)
中点は、
【 ｛3ー√(8/a)｝+ ｛3+√(8/a) 】/2
=6/2=3 つまり
中点(3,0)

AB=4 ということは、AB/2=2 だから A＜Bより
Aは、中点より左に2行った点(1,0)がA点である！

(2)の時、つまり f(x)=2(xー3)^2ー8 において
このグラフは、頂点(3,ー8) 軸の方程式x=3 において対称で下向きのグラフだから
f(2)=f(4)=ー6 だから 2≦x≦ b ただし、b ＞4 より
最小値m=ー8 (頂点 x=3)

最大値M=2(bー3)^2ー8

また、M=l m l= l ー8 l= 8
∴ 8=2(bー3)^2ー8
∴ (bー3)^2=(8+8)/2=8
∴ bー3=±2√2
∴ b=3±2√2
b＞4より b=3+2√2