x+1/x=1のとき、x^10+1/x^10 は?

A 回答 (2件)

x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2・x・1/x=1^2-2・1=-1 ・・・・・ ①


x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3・x・1/x(x+1/x)=1^3-3・1・1=-2 ・・・・・ ②
または、
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-x1/x+1/x^2)=1(-1-1)=-2

①、② より
x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-x^2・1/x^2(x+1/x)=(-1)(-2)-1^2・1=2-1=1 ・・・・・ ③

x^5+1/x^5(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)-(x+1/x)=(-1)(-2)-1=2-1=1 ・・・・・(ア)
(x^2 と 1/x^2 が約分できるので(ア)でもよいと思います)

したがって、③ より
x^10+1/x^10=(x^5+1/x^5)^2-2・x^5・1/x^5=1^2-2・1=1-2=-1


まず、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab ・・・・・ (イ)

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) ・・・・・ (ウ)
(この問題に関しては、a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) を使ってもよい)
を使って、
x^2+1/x^2 と x^3+1/x^3 の値を求める。

次に、 (イ) を使えば、
x^10+1/x^10=(x^5+1/x^5)^2-2・x^5・1/x^5
であることから、
x^2+1/x^2 と x^3+1/x^3 を使って、x^5+1/x^5 の値を求める。

これで、x^10+1/x^10 の値を求めることができる。

a=x、b=1/x だから、ab=x・1/x=1 で定数になることに気付けばよいのでは?
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x^10+1/x^10 =-1



計算ミスなければ・・!?
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ω^12+6ω^10+15ω^8+20ω^6+15ω^4+6ω^2+1の値を答えなさい。

わかる方、解説をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ω^12+6ω^10+15ω^8+20ω^6+15ω^4+6ω^2+1
=(ω^2 +1)^6…(1)

ω^2 +1=ωより、
(1)は、
=ω^6
=(ω-1)^3
=ω^3-3ω^2+3ω-1
=(ω-1)(ω^2+ω+1)-3ω^2+3ω
=(ω-1)(ω-1+ω+1)-3ω(ω-1)
=2ω(ω-1)-3ω(ω-1)
=-ω(ω-1)
=-ω×ω^2
=-ω^3
です。

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わかる方教えて下さい(´;ω;`)

Aベストアンサー

x^3+3x^2+5x+6=0 を因数分解すると(x+2)(x^2+x+3)=0
1つの解を共有する場合、f(x)=x^2+x+kとおくと、f(-2)=0となればよいので、それを解くとk=-2
f(x)=x^2+x-2=0の解はx=-2,1であるので、確かに1つの解を共有する。
2つの解を共有するとき、x^2+x+3=0の2つの虚数解と一致すればよく、x^2+x+3=0と x^2+x+k=0 の2式を比較すると、k=3
よって1つの解を共有するときk=-2、2つの解を共有するときk=3

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<のところは、小なりイコールです。
もしできる方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

グラフをかいて考えます。
曲線 y=-9x^2+5 ・・・・・ ① は頂点の座標が(0, 5) の上に凸の放物線です。

x の範囲があるので、
x=-2/3 のとき y=-4+5=1
x=1 のとき y=-9+5=-4

直線 y=m(x+1) ・・・・・ ② は、mの値に関わらず、定点(-1, 0) を通る直線です。

求めるmの範囲は、直線②が図の(ア)から(イ)の間にあるとき。

mの最小値は、直線②が点(1, -4) を通るときだから
-4=m(1+1)
2m=-4
m=-2

mの最大値は、曲線①と直線②が接するときだから、①、②より
-9x^2+5=m(x+1)
9x^2+mx+m-5=0 ・・・・・ ③
の判別式をDとすると、D=0
D=m^2-4・9・(m-5)=0
m^2-36m+180=0
(m-6)(m-30)=0
m=6, 30

m=6 のとき ③に代入して
9x^2+6x+1=0
(3x+1)^2=0
x=-1/3
これは、曲線①と直線②の接点のx座標が -2/3≦x≦1 の範囲にあるので適する。

m=30 のとき ③に代入して
9x^2+30x+25=0
(3x+5)^2=0
x=-5/3
これは、曲線①と直線②の接点のx座標が -2/3≦x≦1 の範囲にないので適さない。

したがって、求めるmの値の範囲は
-2≦m≦6

グラフをかいて考えます。
曲線 y=-9x^2+5 ・・・・・ ① は頂点の座標が(0, 5) の上に凸の放物線です。

x の範囲があるので、
x=-2/3 のとき y=-4+5=1
x=1 のとき y=-9+5=-4

直線 y=m(x+1) ・・・・・ ② は、mの値に関わらず、定点(-1, 0) を通る直線です。

求めるmの範囲は、直線②が図の(ア)から(イ)の間にあるとき。

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-4=m(1+1)
2m=-4
m=-2

mの最大値は、曲線①と直線②が接するときだから、①、②より
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9x^2+mx+m-5=0 ・・・・・ ③
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解説よろしくお願いします( ; ; )

Aベストアンサー

式を満たすということは、その式を利用して代入できるということ。

z=2x-2y
y=6x+2z-5=6x+2(2x-2y)-5=10x-4y-5
y=2x-1
z=2x-2(2x-1)=-2x+2
これらを代入すると
ax^2+b(2x-1)^2+c(-2x+2)^2=-2
ax^2+b(4x^2-4x+1)+c(4x^2-8x+4)+2=0
(a+4b+4c)x^2+(-4b-8c)x+(b+4c+2)=0

この時、
(a+4b+4c)=0
(-4b-8c)=-4(b+2c)=0
(b+4c+2)=0
を全て満たせば、xの値によらず常に成り立つ。
b+2c=0より
b+4c+2=2c+2=0
c=-1
b=-2c=2
a=-4(b+c)=-4

よってa=-4,b=2,c=-1
の時にx,y,zの値によらず
ax^2+by^2+cz^2=-2が成り立つ。

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(2)の問題についての質問です。
x^4-7x^2y^2+y^4を因数分解したら
(x^2-√5xy-y^2)(x^2+√5xy-y^2)
という値が出たのですが、これは間違いなのでしょうか?

理由も添えて回答お願いします。

Aベストアンサー

間違いではないと思いますが、終わってませんね。

x^4-7x^2 y^2+y^4
={(x^2-y^2)^2+2x^2 y^2}-7x^2 y^2
=(x^2-y^2)^2-5x^2 y^2
=(x^2+√5xy-y^2)(x^2-√5xy-y^2)
={(x+√5 y/2)^2-(3y/2)^2}{(x-√5 y/2)^2-(3y/2)^2}
={x+(3+√5)y/2}{x-(3-√5)y/2}{x+(3-√5)y/2}{x-(3+√5)y/2} //

となるでしょう。但し、先に真中の項を '+' にしておくと、後が -9x^2 y^2 となるので計算し易いと思います。


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