No.6ベストアンサー
- 回答日時:
図を正確に書いた。
内容は同じ。中学2年だから、直線と点の距離とかは使わずに回答。
(1)台形
台形の定義は「向かい合う1組の辺が平行」だから
OB//PQ。
OBは傾き=3/9=1/3だから、PQの傾きも1/3。
∴PQの方程式はy=1/3・x + a・・・・・①
又点QはAPをPから見て1:2、Oから見ると2:1に分割する。
原点(0,0)とA(3,9)の座標も2:1に分割する。
∴P=(2,6)
①がpを通るから、代入すると6=2/3 + a ∴a=16/3
∴PQの方程式は、y=1/3・x + 16/3
(2)△APQ:△AOB=1:6になる事を使う
△APQは△AOBの1/6になれば良い訳。
△AOBで底辺をAOとすると、高さは下図上の赤線。
△APQの底辺APはAOの1/3だった(1:2だったから)。
∴APQの高さは△AOBの高さの1/2になれば良い。
(1/3 × 1/2 = 1/6だから)
△AB赤点線と、△AQ赤実線は相似形になり、相似比=2:1になれば
∴垂線の長さ(赤実線)=赤実線×1/2となる。
つまり、QはABの中点だとわかる。
だからQ(X,Y)はX=(3+9)/2=6, Y=(9+3)/2=6
Q(X,Y)=(6,6)
No.8
- 回答日時:
No6さんの続きから、
△OABの面積は、△OA(Aからx軸への垂線の交点)=△OB(Bからx軸への垂線の交点)
と同じ面積なので、台形AB(Aからx軸への垂線の交点) (Bからx軸への垂線の交点)
の面積なので、(3+9)・(9ー3)/2=36 …(0) なので、
その1/6 は、36/6=6 …(1) また、
A(3,9) P(2,6)より AP=√{ (3ー2)^2+(9ー6)^2}=√(1+3^2)=√10
なので、点PからABへの距離を、h とおくと、
△APQ=AP・h/2=√10・h/2 …(2)
6=√10・h/2 より h=12/√10 …(3)
また、点Bから OA までの距離Gは、
OA=√(3^2+9^2)=√{3^2・(1+3^2)}=3 √10 なので、
36=OA・G/2=3√10 ・G/2 ∴ G=36・2/(3・√10)=24/√10 …(4)
(3),(4)より
h/G={12/√10}/{24/√10}=1/2 となり証明されます!
別解として、
直線ABは、(3,9)と(9,3)を通る直線は、y=ーx+12 …(5)' であり、法線である
y=x と点R(6,6)で、直交するので、AB=√(9ー3)^2+(3ー9)^2=√72=6√2 …(11) 'より
△OAB=6√2・√(6^2+6^2) /2=36 …(0)
36/6=6 …(1)'
今 点P(2,6)を通り、y=x と並行な傾き1の直線もABと直交するので、…(ポイント)
yー6=1・(xー2) ∴ y=x+4
この直線と直線AB y=ーx+12 との交点は、
x+4=ーx+12
2x=12ー4=8
x=4 y=8 より交点S(4,8)とすると、
PS=√ {4ー2)^2+(8ー6)^2}=√(2^2+2^2) =2√2 より AQは、
6=PS・AQ/2=2√2・AQ/2
∴ AQ=6・2/(2√2)=6/√2=3√2 …(2)'
∴ AQ/AB=3√2/(6√2)=1/2
よってQ は、ABの中点である!
こちらの方が、楽でしょう!
No.5
- 回答日時:
中学2年だから、直線と点の距離とかは使わずに回答。
(1)台形
台形の定義は「向かい合う1組の辺が平行」だから
OB//PQ。
OBは傾き=3/9=1/3だから、PQの傾きも1/3。
∴PQの方程式はy=1/3・x + a・・・・・①
又点QはAPをPから見て1:2、Oから見ると2:1に分割する。
原点(0,0)とA(3,9)の座標も2:1に分割する。
∴P=(2,6)
①がpを通るから、代入すると6=2/3 + a ∴a=16/3
∴PQの方程式は、y=1/3・x + 16/3
(2)△APQ:△AOB=1:6になる事を使う
△APQは△AOBの1/6になれば良い訳。
△AOBで底辺をAOとすると、高さは下図上の赤線。
△APQの底辺APはAOの1/3だった(1:2だったから)。
∴APQの高さは△AOBの高さの1/2になれば良い。
(1/3 × 1/2 = 1/6だから)
△AB赤点線と、△AQ赤実線は相似形になり、相似比=2:1になれば
∴垂線の長さ(赤実線)=赤実線×1/2となる。
つまり、QはABの中点だとわかる。
だからQ(X,Y)はX=(3+9)/2=6, Y=(9+3)/2=6
Q(X,Y)=(6,6)
No.4
- 回答日時:
中学2年では、
点A(3,9) 点B(9,3) を通る直線は、y=ーx+12 …(2) になり
この直線は、y=xにおいて、直線(2)との点R(6,6)(とおく)において対称になるから、
△OABを半分に分つ、 つまり △OAR=△OBR となる!
また、AP : PO=1:2 つまり
点Rから直線AOに降ろした垂線が共通な2つの三角形である関係は
△APR : △POR =1 : 2 となるから、 また
△APR : △OAR : △ OAB= 1 : 3 : 6 となるから
点Rは求める点Qと一致する!
もっと早い解法気がついたよ!同じ考えだが、
点Bから、直線OAに垂線を降ろすと、
AP : PO=1:2 という条件より、
△APB : △OPB=1:2 より
△APB : △OAB=1:3
今、点QをABの中点にとると、同じ考え方により
△AQP : △PQB : △APB=1:1:2 になるから
△AQP : △AOB : 四角形OPQB=1:2:5 となる!
No.3
- 回答日時:
1) 台形となるには、貴方も線をひかれているように、
点Pを通り、 辺OBと並行が条件だよね!だから、まず、
点Pの座標を求めよう!
線分OAを原点から2:1に分つ点だから、…(1)
代数的には、
点Pは、OA上の点だから、点A(3,9)より傾きm(とおく)を求め、y=m とし、
(1)より、点Pのx,y座標とも 2:1に分つので 出てくるね!
図形的には、
点A 点P 点Pと原点との中点Q(とおく)から、x軸、y軸に垂線を降ろす6つの点から直ぐにわかるよね!
仮に、点Pを(a,b)とおくと
yーb=m(xーa) が答えとなるね!
2) 四角形POBQ:△APQ=5:1 は、四角形+△APQ=△AOBより
△AOB:△APQ=6:1を示せばいい!まず、
中学3年の三角比でやると
∠OAB=∠PAQ=θ とおくと …(1)
三角形の面積の公式; (一辺)・(一辺の向かいの辺)・sin(その挟む角度) /2 より
△OABと△PAQにおいて (1), 三平方の定理より
3AP・6√2・sinθ /2=6(AP・AQ・sinθ /2)
∴ AQ=3√2 よりABの中点となるから………になる!
中学2年では、
点A(3,9) 点B(9,3) を通る直線は、y=ーx+12 …(2) になり
この直線は、y=xにおいて、直線(2)との点R(6,6)(とおく)において対称になるから、
△OABを半分に分つ、 つまり △OAR=△OBR となる!
また、AP : PO=1:2 つまり
点Rから直線AOに降ろした垂線が共通な2つの三角形である関係は
△APR : △POR =1 : 2 となるから、 また
△APR : △OAR : △ OAB= 1 : 3 : 6 となるから
点Rは求める点Qと一致する!
No.2
- 回答日時:
問2を書かずに送信してしまいました(汗
四角形POBQが△APQの5倍ということは、両方合わせた△OABは△APQの6倍ということです。
AOを底辺、BからAOに引いた垂線の長さを高さ、と考えると、
AO:APから底辺の長さの比を計算でき、
BからAOに引いた垂線の長さ:QからAOに引いた垂線の長さから高さの比を計算でき、
それらの比を用いて面積比を計算する事ができます。
A,Oの座標からAOの長さは計算できます。
APの長さはPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
AOの長さ÷APの長さによって底辺の長さが何倍であるかを表します。…③
AOの傾きからB,QからAOに引く垂線の傾きが計算でき、
B,Qの座標を通る事も含めると、それぞれの垂線の式を計算する事ができます。
Qからの垂線はQx(もしくはQyあるいはその両方)によって表す事になります。
それぞれの垂線の式を表す事ができたので、
AOとの交点の座標を求める事もできます。
それにより、それぞれの垂線(B,QからAOとの交点まで)の長さを求める事ができます。
Bからの垂線の長さ÷Qからの垂線の長さによって高さが何倍であるかを表します。…④
③×④=6 となるのが問題の内容ですが、
現在③はPの座標、④はQの座標によって表現されている為、
AP:PQ=1:2を利用して、どちらかの座標のみで表せるようにする必要があります。
APの長さは既に計算しているので、P,Qの座標からPQの長さを計算します。
APの長さ(Pの座標による)*2=PQの長さ(P,Qの座標による) から、
Pの座標をQの座標で(あるいはその逆で)表す事ができたので、
③×④=6をP(あるいはQ)の座標のみで表す事ができます。
仮にPxのみで表した場合、Pxの値を求める事ができるので、それを代入してPyも求まります。
Pの座標が確定した事で、それを代入してQの座標も求める事ができます。
No.1
- 回答日時:
点P,Qの座標を(Px,Py),(Qx,Qy)とします。
OAの式からPyをPxの式で表す事ができます。
同様にABの式からQyをQxの式で表す事ができます。
A,Pの座標から、APの長さをPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。…①
POBQが台形ということは、OB//PQであるので、OBの式からPQの傾きが分かります。
PQをPを通り傾きがOBに等しい直線として、Px(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
PQとABの交点がQであるため、Qの座標(QxおよびQy)をPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
P,Qの座標から、PQの長さをPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。…②
①:②=1:2であるので、①*2=②*1として式を立てれば、PxあるいはPyを求める事ができ、
それを代入してもう一方の値を求める事ができます。
Px,Pyを代入する事で、Qx,Qyについても求める事ができます。
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