ネットが遅くてイライラしてない!?

平均値、標準偏差の有効数字についてです。

0.5046,0.5089,0.5015,0.5365,0.5681
5つの実験データです。

平均値0.52392 標準偏差0.0253442222なのですが、有効数字は何桁ですか?

データ桁数に合わせて小数点以下4桁でいいのですか?

A 回答 (5件)

No.4です。

念のために、「誤差伝搬」の考え方や、四則演算でどう伝搬するかを解説したサイトを紹介しておきます。「観測データは、真値の周囲に正規分布する」というのが考え方のベースです。
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …
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No.1&2 です。

#3さんのように、「有効数字」という考え方を嫌う方もいます(データを厳密に取り扱う科学者・専門家に多いようです)。
確かに、「有効数字」という考え方には、数学的・統計学的な厳密さからするとあいまいさがあります。

そうはいっても、現実にはいろいろなデータを「実用的に」扱うときには、「有効数字」という考え方は簡易的で便利です。

この問題の場合、「誤差」という考え方をすると、各データは
 0.5046 ± 0.00005
 0.5089 ± 0.00005
 0.5015 ± 0.00005
 0.5365 ± 0.00005
 0.5681 ± 0.00005
という誤差を持つと考えられます。

「誤差伝搬」の考え方から、「平均値」の誤差は、平均値の計算が「5つ加算して、データ個数の5で割る」なので
 [ √(0.00005² + 0.00005² + 0.00005² + 0.00005² + 0.00005² ) ] /5
≒ 0.0000224
です。

 正確には、求めた「平均値」の数値に対して、
  0.52392 ± 0.0000224
という評価をします。「0.5238976~0.5239424あたりにある確率が高い」ということです。

 これを、まあ、ざっくりと「最初の誤差 ± 0.00005とオーダー的に同程度」 とみなして、「平均値も、各データと同じ程度の誤差を持つ」「小数点以下5桁目を四捨五入すればだいたい妥当な数値になる」という処置をして、「0.52392 の5桁目を四捨五入して 0.5239 とする」というのが「有効数字」という取り扱いです。

 厳密には正確ではありませんが、実用的には「おおむね合っている」という数値になります。

 「有効数字は、数学的には厳密とは言えないが、おおむね妥当な数値になるので、実用上は便利に使える」という事情を知った上で、状況に応じた使い方をすればよいと思います。
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「有効数字」というのは、測定値と、そこに含まれる誤差、という質的に全く異なる2つの数値を無理やりまとめてひとつの数字にしてしまうというおかしな表記法でして、


科学的なレポートの中では、よほどの理由がない限り使わないほうがよい(というか、むしろ使ってはいけない)です。
基本的には、誤差を含む測定結果は
 測定値±誤差の大きさ
と、きちんと測定値と誤差を分けて書くようにしてください。
大学生でしょうか。学校で有効数字を使えと指示されたのでしょうか?
とりあえず、学校のレポートぐらいであれば、なんの指摘もうけないで通ってしまうかもしれませんが、
これが、もしちゃんとした論文なんかであれば、有効数字なんていう変な表記を使って書くと、レビュワーに「ちゃんと、測定値と誤差を分けて明示するように」と指摘されることになると思います。

それでも、あえて有効数字を使って表記したい、ということだとしても、
機械的に何桁まで、と決めるのではなくて、ちゃんと誤差の伝播を考えて桁数を決めてください。
たとえば、質問文にある実験値が同一の測定を繰り返したもの(真の値は同一と考えられる)、とするなら、
平均を取れば、誤差は、実験回数の平方根に反比例して減少します。
もとの実験データが4桁目まで正しい(誤差は、±0.00005)とするなら、
5つの平均値の誤差は、0.00005/√5 ≒ 0.00002 ですね。平均値の有功桁として4桁あるいは5桁になります(どちらにするかは微妙なところです)
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No.1です。



計算手順として、まず「有効数字4桁」で「平均値」を求め、次にこの「有効数字4桁の平均値」を使って「標準偏差」を計算してください。不必要な桁を持った「平均値」で計算した「標準偏差」は、評価不能な「不正確さ」を持つことになってしまいますので。
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もとのデータが「4桁」なら、計算値は5桁目を四捨五入して「4桁」にするのが普通の考え方です。



「5桁目には信頼性がない」ということです。

平均値0.52392 → 0.5239
標準偏差0.0253442222 → 0.02534
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Aベストアンサー

こんばんは。

平均値を求めるときの具体的な手順は、
1.合計を求める
2.合計を個数で割る
ですよね。

このとき、1で求まった合計の有効数字が何桁かが、そのまま平均値の有効数字の桁数になります。
そして、標準偏差の有効数字は、桁数ではなく、平均値の最も下の位(十の位とか小数第3位とか)で決まります。

例を挙げますと、
10.00
10.11
10.22
10.33
9.652
という5個のデータがあるとしましょう。
単純合計は、50.312 ですが、最後の1個以外のデータの精度は小数第2位までしかありませんので、合計は、50.31です。
つまり、合計の有効数字の桁数も平均値の有効数字の桁数も上から4桁です。

合計を5で割れば平均値です。
50.31 ÷ 5 = 10.062 → 有効数字4桁なので、10.06

標準偏差(母集団の標準偏差の推定値)は、0.260305・・・ですが、
平均値の精度が小数第2位なので、0.26 です。

よって、この例では、平均値±標準偏差 は、
10.06 ± 0.26
となります。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

平均値を求めるときの具体的な手順は、
1.合計を求める
2.合計を個数で割る
ですよね。

このとき、1で求まった合計の有効数字が何桁かが、そのまま平均値の有効数字の桁数になります。
そして、標準偏差の有効数字は、桁数ではなく、平均値の最も下の位(十の位とか小数第3位とか)で決まります。

例を挙げますと、
10.00
10.11
10.22
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単純合計は、50.312 ですが、最後の1個以外のデータ...続きを読む

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q【数学・物理学】m/s^2のs^2ってどんなイメージですか? 毎秒毎秒ってなんですか? 毎秒毎秒って

【数学・物理学】m/s^2のs^2ってどんなイメージですか?

毎秒毎秒ってなんですか?

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あとこの読みは

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あとnの長い垂れた記号の読み方が分からないです。

Aベストアンサー

日本語だと「メートル毎秒毎秒」ってなりますけど、なんだかわかんないですよね。

簡単に理解するためには、まず速度の単位について考えてみるとよいです。
速度(比べ安くするために秒速にしますけど)というのは、
1秒あたりxxメートル進んだかを表すものですので
距離/時間 で計算できますから(xxメートル)/秒 となります。
単位だけ切り出すと メートル/秒 = m/s になります。

加速度は速度がが時間あたりどのくらい変化しているかを表したものです。
なので 速度の差/時間 で計算しますから、 (xxm/s)/sとなり、
単位だけ切り出すと m/s² となります。
英語だと、meter per second square メーター パー セカンドスクエア
秒二乗あたり○メートルっぽい言い方ですけど、実際に表現しているものは
一秒当たりの、秒速の変化ってことですね。

例えば、止まっている車が10秒後に時速60kmになったとしたら
時速60km=分速1000m≃秒速16.7mですので
平均的な加速度はおよそ 16.7m/s÷10s=1.67m/s²ということになります。

日本語だと「メートル毎秒毎秒」ってなりますけど、なんだかわかんないですよね。

簡単に理解するためには、まず速度の単位について考えてみるとよいです。
速度(比べ安くするために秒速にしますけど)というのは、
1秒あたりxxメートル進んだかを表すものですので
距離/時間 で計算できますから(xxメートル)/秒 となります。
単位だけ切り出すと メートル/秒 = m/s になります。

加速度は速度がが時間あたりどのくらい変化しているかを表したものです。
なので 速度の差/時間 で計算しますから...続きを読む

Q線形独立についての確認

春から機械科の大学生になる生徒です。
線形独立について自分の解釈があっているか確認していただきたいのですが。

例えば、↑a,↑b,↑c,という3つのベクトルがあった時この3つのベクトルの組が線形独立であるとは、
「その組の中のどの一つも他のベクトルの線形結合で書けない」ということであるから、↑aを例として考えると

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↑a=α↑b+β↑c
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Aベストアンサー

合ってる。

(線形独立・線形従属の定義)
x,y,zをベクトルとし、cをスカラとすると
c₁x+c₂y+c₃z=0を満たす時、c₁=c₂=c₃=0であるなら、x,y,zは線形独立。

cに0でないものが存在するなら、x,y,zは線形従属。
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質問は、α,βを実数として↑a=α↑b+β↑cの形には書けない訳だから線形独立で合っている。

Q記録の範囲、分布の範囲、数値の範囲とは?

全国学力テスト(2017年4月)中学校数学Aの問14(1)で「記録「40, 46, 47, 48, 53, 53, 56」の記録の範囲を求めなさい」で回答は最大値ー最小値の「16」となっており、「40から56まで」ではありません。
高校の数学で「式y=2x+1で 1<x<2のときyがとる数値の範囲を求めよ」の答えは「3<y<5」であり、5-3=2では無いと記憶しています。
インターネットで調べると中学数学で、「分布の範囲は最大値ー最小値」のようです。(「記録の範囲」は見つからなかった)

質問(1)記録の範囲、分布の範囲とは高校数学・大学数学でも「最小値から最大値まで」ではなく「最大値ー最小値」なのでしょうか?

質問(2)中学数学で数値の範囲という定義はありますか? 数値の範囲も「最小値から最大値まで」ではなく「最大値ー最小値」なのでしょうか?

Aベストアンサー

もっと良い日本語があった。
「幅」
ですね。
上手く言えないけれど、これを使った言葉にすれば良いでしょう。
レンジを「範囲」と「誤訳している」のでしょう。
あるいは、実は「レンジ」が「範囲」「幅」という複数の意味を持つ「多義語」であって、その訳を間違えている、誤訳しているのかもしれません。
外国の連中がこう言っているからこうだ、というのは、たぶん間違い、数学においては、ひょっとすると日本語の方がずっと正確なのかもしれません。少なくともそういうことは良くあるんでしょう。
もし「レンジ」という言葉で「範囲」と「幅」を多義語的に使っているのであれば、当然その言語を母国語として育った連中は、概念の正確な理解が困難になるはずです。
10進数で運用するのに、イレブン、トゥエルブ、は正しい概念でしょうか?
16進数を運用するなら、10,11,12,13,14,15は概念として間違っている、少なくとも使い辛いために、8,9,a,b,c,d,e,fと数字を「仮設」したはずです。
概念は、それを正確に表現すべきです。そう心がけるべきです。

なお、誰それさんがそう言っているから、みんなそう言っているから、数学用語として決まっているから、なんてことは、「数学では教えていないはず」です。
論理的に何が正しいのか、であるはずです。

もっと良い日本語があった。
「幅」
ですね。
上手く言えないけれど、これを使った言葉にすれば良いでしょう。
レンジを「範囲」と「誤訳している」のでしょう。
あるいは、実は「レンジ」が「範囲」「幅」という複数の意味を持つ「多義語」であって、その訳を間違えている、誤訳しているのかもしれません。
外国の連中がこう言っているからこうだ、というのは、たぶん間違い、数学においては、ひょっとすると日本語の方がずっと正確なのかもしれません。少なくともそういうことは良くあるんでしょう。
もし「レン...続きを読む

Q数学Ⅱ 恒等式

添付している画像の恒等式の問題6問の答えを教えてください。
1番上の(1)~(4)の問題は、恒等式ではない場合、どの数を代入したら成り立つのかも教えていただきたいです。
回答よろしくお願い致します…!!!

Aベストアンサー

(1)~(4)は何をするのか、肝心な問題文がないのでわかりません。

(1)恒等式です。

(2) 左辺= x(x - 1) + x = x² - x + x = x²
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは
 x² = 2x
より
 x(x - 2) = 0
よって、x=0 または x=2 のときのみ。

(3) 左辺= 2 + 1/(x + 1) = (2x + 2 + 1)/(x + 1) = (2x + 3)/(x + 1)
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは、分母が等しいので
 2x + 3 = 3
より x=0 のときのみ。

(4) 左辺 = 1/x - 1/(x + 2) = (x + 2 - x)/[ x(x + 2) ] = 2/[ x(x + 2) ]
なので、与式は恒等式です。


2番目の問題:
 右辺 = (x - 3)(ax + b) + c
   = ax² + (b - 3a)x + c - 3b
なので、恒等式であるためには左辺の同じ次数の項の係数が同じである必要がある。
従って
  a = 2
  b - 3a = -7
 → b = -7 + 3a = -7 + 6 = -1
  c - 3b = 8
 → c = 8 + 3b = 8 - 3 = 5


3番目の問題:
 右辺 = a/x + b/(x + 1)
   = (ax + a + bx)/[ x(x + 1) ]
   = [ (a + b)x + a ]/[ x(x + 1) ]
なので、恒等式であるためには左辺の分子の同じ次数の項の係数が同じである必要がある。
従って
  a + b = 0
  a = 1
よって
  b = -a = -1

(1)~(4)は何をするのか、肝心な問題文がないのでわかりません。

(1)恒等式です。

(2) 左辺= x(x - 1) + x = x² - x + x = x²
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは
 x² = 2x
より
 x(x - 2) = 0
よって、x=0 または x=2 のときのみ。

(3) 左辺= 2 + 1/(x + 1) = (2x + 2 + 1)/(x + 1) = (2x + 3)/(x + 1)
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは、分母が等しいので
 2x + 3 = 3
より x=0 のときのみ。

(4) 左辺 = 1/x - 1/(x + 2) = (x + 2 - x)/[ x(x + 2) ] = 2...続きを読む

Q等分散性や正規性を判定する場合の多重性

当方、統計の専門家ではありません。
既出でしたらすみません。

データの等分散性と正規性の確認後に、
平均値比較や中央値比較を実施した経験がある方に質問です。

複数の質問で恐縮ですが、以下についてご回答お願い致します。
できれば参考書籍か参考URLも併記くださると助かります。

よろしくお願いします。

--------------------------------------------

1)仮にF検定で不等分散性であることを棄却できた場合、そのあとにstudent t検定を実施するという手順があると思います。2種類の検定を行なうので、この手順は多重性を孕むでしょうか。
2)等分散性の検定で、F検定とLevene検定の違いは群の数の違い、と考えればよいでしょうか。
 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1476335319
3)1)で多重性がある場合、適当な補正方法は何がオススメでしょうか。
4)1)で多重性を考慮する必要がない場合、有意差の有無の判断はStudent t検定のp値だけで判断すれば良いということでしょうか。
5)F検定→Student t検定という流れを踏まずに始めから、Welch t検定またはMann-Whitney U検定を実施する手順はマナー違反にはならないでしょうか。
6)5)でWelch t検定かMann-Whitney U検定の選択基準は、データの分布の形に依存すると思いますが、正規性の判定は、Shapiro-Wilk検定と正規分布を比較対象としたKolmogorov-Smirnov検定の他にもあるでしょうか。
7)6)で念のため、正規性を検定した後にWelch t検定かMann-Whitney U検定を実施する場合、この手順も多重性を孕むでしょうか。
8)7)の場合、念のためShapiro-Wilk検定とKolmogorov-Smirnov検定の両方を実施して正規性を確認することが多重性を持つ場合、例えばBonferroni補正を行なうとしたら、3回分考慮し、Welch t検定またはMann-Whitney U検定で得たp値を3で除せばよいことになるのでしょうか。

当方、統計の専門家ではありません。
既出でしたらすみません。

データの等分散性と正規性の確認後に、
平均値比較や中央値比較を実施した経験がある方に質問です。

複数の質問で恐縮ですが、以下についてご回答お願い致します。
できれば参考書籍か参考URLも併記くださると助かります。

よろしくお願いします。

--------------------------------------------

1)仮にF検定で不等分散性であることを棄却できた場合、そのあとにstudent t検定を実施するという手順があると思います。2種類の検...続きを読む

Aベストアンサー

企業でSQCを推進する立場にある者です。

全ての細かな質問項目には、答えられませんが、
最初の基本の質問について、回答します。

確かに以前は、「F検定にて等分散性を確認した後」、平均値の差の検定などを
実施しなさい、と統計の教科書にも堂々と書いてありましたが、
おっしゃるように「多重比較」ですよね。
これを指摘している先生方は沢山おみえになります。

5)F検定→Student t検定という流れを踏まずに始めから、
Welch t検定またはMann-Whitney U検定を実施する手順は
マナー違反にはならないでしょうか。

マナー違反どころか、最近では、ご質問者のご提案のとおり
「最初からウェルチで」という流れが出てきているみたいです。
「最初からウェルチで」でググると、書いている人がたくさん出てきます。

結果がどうなるか、気になったので、
自分でRでスクリプトを書いてやったことがあります。
本来、合併分散で済む(等分散)ケースでも、
ウェルチの方法を適用することになりますが、
「そんなにp値は違わない」という感じでした。


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