No.2ベストアンサー
- 回答日時:
zにxあるいはyを代入し、yあるいはxのみで表しましょう。
途中計算の関係で、x,yは実数であるとしておきます。
z=(1-y^2)^2+6y^2
=1-2y^2+y^4+6y^2
=y^4+4y^2+1
=(y^2+2)^2-3
(y^2+2)^2が最少となるのは、
y^2=0の時なので、
z=4-3=1
z=x^2+6(1-x)
=x^2-6x+6
=(x-3)^2-3
ただしy^2=1-x≧0なので
1≧x
(x-3)^2が最少となるのは、
x=1の時なので、
z=4-3=1
x^2,y^4共に係数が正なので、これらのグラフは下に凸、
つまりz=1が最少値です。
No.1
- 回答日時:
x + y² = 1 なので
y² = 1 - x ①
です。ここで、x, y とも実数であれば y² ≧ 0 なので
1 - x ≧ 0
つまり
x ≦ 1 ②
でなければいけません。
また、求める
z = x² + 6y²
は、 x² ≧ 0, y² ≧ 0 なので
z ≧ 0 ③
ですから、最小値は 0 または 正です。
①を
z = x² + 6y²
に入力すれば
z = x² -6x + 6
= (x - 3)² - 3
ということになります。これは、x-z平面のグラフでは
頂点 (3, -3)、軸は x=3
下に凸(上に開く)
の放物線です。
従って、②の条件での最小値は、x=1 のときで
z = 1
となります。これは③も満たしています。
従って、zの最小値は 1。
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