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高校1年の数学の2次関数の最大・最小の問題です。答えと解き方を教えてください!至急お願いします。

「高校1年の数学の2次関数の最大・最小の問」の質問画像

A 回答 (2件)

zにxあるいはyを代入し、yあるいはxのみで表しましょう。


途中計算の関係で、x,yは実数であるとしておきます。

z=(1-y^2)^2+6y^2
=1-2y^2+y^4+6y^2
=y^4+4y^2+1
=(y^2+2)^2-3
(y^2+2)^2が最少となるのは、
y^2=0の時なので、
z=4-3=1

z=x^2+6(1-x)
=x^2-6x+6
=(x-3)^2-3
ただしy^2=1-x≧0なので
1≧x
(x-3)^2が最少となるのは、
x=1の時なので、
z=4-3=1

x^2,y^4共に係数が正なので、これらのグラフは下に凸、
つまりz=1が最少値です。
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x + y² = 1 なので


  y² = 1 - x   ①
です。ここで、x, y とも実数であれば y² ≧ 0 なので
 1 - x ≧ 0
つまり
 x ≦ 1   ②
でなければいけません。

また、求める
 z = x² + 6y²
は、 x² ≧ 0, y² ≧ 0 なので
 z ≧ 0   ③
ですから、最小値は 0 または 正です。

①を
 z = x² + 6y²
に入力すれば
 z = x² -6x + 6
  = (x - 3)² - 3
ということになります。これは、x-z平面のグラフでは
 頂点 (3, -3)、軸は x=3
 下に凸(上に開く)
の放物線です。

従って、②の条件での最小値は、x=1 のときで
 z = 1
となります。これは③も満たしています。

従って、zの最小値は 1。
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