座標空間において、A(0,4,3)、B(0,2,6)、C(3,3,3,) とする。また、Pは直線AB

座標空間において、A(0,4,3)、B(0,2,6)、C(3,3,3,)
とする。また、Pは直線AB上にあって↓AP=t↓AB
(t≠0)を満たすとする。


(1)点Pの座標をtで表せ。

(2)直線CPとxy平面の交点をQ(X,Y,0)とするとき、
X,Y,をそれぞれtで表せ。またYをXのみの式で表せ。

(3) (2)において、tが1から2まで変化するとき、線分CQの通過する部分の面積Sを求めよ。

よろしくお願いします。
ベクトルは苦手なので復習して克服したいとは思うのですが...

No.15 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/08 00:35

尚 ベクトルの外積で、

→ → →
i , j , k
1.5 1.5 ー3
3 1 ー3

と表しても
(ー1.5,ー4.5,ー3)
となり、
S=(1/2)√｛(ー1.5)^2+(ー4.5)^2+(ー3)^2｝=(3/4)√14

尚 ベクトルの外積は、→a・→b・sinθ であり、
その絶対値は、→aと→bとの平行四辺形の面積で、
1/2 にすることで、→aと→bとの三角形の面積を表す！

この回答へのお礼

何度も何度もありがとうございます。
助かりました！

お礼日時：2017/05/18 22:06

No.14 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/05 18:06

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …外積+ベクトル&status=solved

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …外積+ベクトル&status=solved

に、ベクトルの外積の計算方法が載っているので、外積の計算方法は、間違いないでしょう！No10の補足です！

No.13 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/05 17:40

3)の別解2(No7の) 公式を使わない方法！

Q1(6,4,0)
Q2(4.5,4.5,0)より
この2点を通る直線は、x軸1.5上がると、y軸ー0.5下がるので、図を描くと
傾き ー0.5/1.5=ー1/3 y軸との交点 6 より
y=ー(1/3)x+6 …(1) より
点(3,3,0)を通り、(1)に直交する法線は、
yー3=3(xー3)
∴ y=3xー6 …(2)より
(1),(2)との交点は、(1)=(2)より
∴ (3+1/3)x=12
∴ (10/3)x=12
∴ x=36/10 y=48/10
よって、交点(36/10,48/10, 0)と点(3,3,0)との距離D1は、
D1=√(3.6ー3)^2+(4.8ー3)^2 =√(6^2+18^2)/100 =√(1+3^2)・(6/10)^2
=6/√10

以下No7から、求める三角形の高さD2から、S=(3/4)√14

No.12 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 19:14

全て回答(No3,6,7)及び外積にて解決しました。

全て、他の方と異なる解法です。内積がわからないので、
また、ヘロンの式は、大変なので、すみません！

No.11 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 18:52

.

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 18:40

別解として、ベクトルの外積で回答します！スマートですね！

点A(6,4,0) 点B(4.5,4.5,0) 点C(3,3,3)

→CA=(6ー3,4ー3,0ー3)=(3,1,ー3)
→CB=(4.5ー3,4.5ー3,0ー3)=(1.5,1.5,ー3)

→i →j →k は、xyz座標における単位ベクトルとすると、外積CA・CBは、行列式

→ → →
i , j , k
3,1,ー3
1.5,1.5,ー3

と表されるので、
→i l (1・(ー3)ー1.5(ー3) l +
→j l (1.5・(ー3)ー3・(ー3) l+
→k l (3・1.5ー1.5・1 l
=(1.5,4.5,3) だから

S=(1/2)・(→CA)外積(→CB)
=(1/2)√ ｛(1.5)^2+(4.5)^2+3^2｝
=(1/2)√(1.5)^2・(1^2+3^2+2^2)
=1.5/2 ・√14
=3/4・√14

空間における面積は、(1/2)→a 【外積】→b の公式より、直接求められる。

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 17:50

ベクトルの外積で求めれば、スマートにできるかも！

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 17:43

補足として、他の方の回答はわからないので、私は、3)は、

点と平面の距離の公式では、無理だったので、まず、点(3,3,0)との距離を求め、
その点をz軸に3上げて、三平方の定理で考えました。
勿論、点と距離の公式で得た数値は、三角形の高さに相当し、また、
点(3,3,0)と、直線X+3Yー18=0 と直交し、また、上に上げた点Cでも直交するからです。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 17:33

t=1,2から、Q1(6,4,0) Q2(4.5,4.5,0)より

点(3,3,0) から2点を結ぶ直線への距離D1は、
D1= l 3・1+3・3ー18 l /√(1^2+3^2)=6/√10
点Cは、(3,3,3)なので、三平方の定理より
点Cと直線X+3Yー18 までの距離D2は、
D2=√｛3^2+(6/√10)^2｝
=3√(14/10)
よって、
S=(1/2)・3√(14/10)・√｛(6ー4.5)^2+(4ー4.5)^2｝
=3/4・√14

図を描けばわかる！

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/04 17:05

2)

y=ー2t+4, z=3t+3 よって、→OP(0,ー2t+4,3t+3) …(1)
→OC(3,3,3) …(2)
→CP=→OP ー →OC =(ー3,ー2t+4ー3,3t+3ー3) =(ー3,ー2t+1,3t ) …(3)
次に →CQ=(Xー3,Yー3,ー3) …(4)

よって
CQ=k・→CP
=k (ー3,ー2t+1,3t)
(4)とで、
∴ X=ー3k+3
Y=(ー2t+1)k+3
ー3=3t ・k ∴ k=ー1/t

∴ X=3+3/t …(5)
Y=5ー1/t …(6)

(5)+3(6) より
∴ X+3Yー18=0 …(7)