数III 複素数の積と商 1＝cos0+isin0を用いて、z＝r（cosθ+isinθ）のとき 1

数III 複素数の積と商

1＝cos0+isin0を用いて、z＝r（cosθ+isinθ）のとき
1/z＝1/r（cosθ−isinθ）であることを示せ
という問題です

どのように解いていけばいいのかわかりません
解説よろしくお願いしますm(_ _)m

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/02 16:17

(書き直し！)

複素数におけるドモアブルの定理は、回転行列に対応するので

1=cos 0+i sin 0 は、単位行列を表し、行列zは、
rcosθ ーrsinθ
rsinθ rcosθ
となるから、
z・(1/z)=1 ということは、1/z は、逆行列を表すので、
左から、逆行列を掛けると、
z(-1)・z・(1/z)=z(-1)・E …ただし、E は、単位行列です。
∴ 1/z=z(-1) より 逆行列の公式より
また、判別式=rcosθ・rcosθー(ーrsinθ・rsinθ)=r^2｛(cosθ)^2+(sinθ)^2｝=r^2
より、1/z の(r^2)倍は、
cosθ/r sinθ/r
ーsinθ/r cosθ /r
となり、証明された！

この回答へのお礼

なんども回答ありがとうございます
とてもわかりやすいです！
ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2017/05/02 22:04

No.5 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/05/02 16:47

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)=cos(α-β)+isin(α-β) を使って証明するのだろうか？

であれば、
1/r
=(cos0+isin0)/r(cosθ+isinθ)
=1/r･{cos(0-θ)+isin(0-θ)}
=1/r･{cos(-θ)+isin(-θ)}
=1/r･(cos-isinθ)

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/02 15:09

複素数におけるドモアブルの定理は、回転行列に対応するので

1=cos 0+i sin 0 は、単位行列を表し、
z・(1/z)=1 ということは、1/z は、逆行列を表すので、
右から、逆行列を掛けると、
z(-1)・z・(1/z)=E・z(-1)
∴ 1/z=z(-1) より 逆行列の公式より
1/zは、
rcosθ rsinθ
ーrsinθ rcosθ
となり、証明された！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/02 14:31

1=cos 0 +i sin 0 より

1/z= ( cos 0+i sin 0 )/｛r(cosθ+i sinθ)｝
= ( cos 0+i sin 0 ) (cosθーi sinθ)｝/｛r(cosθ+i sinθ) ( cosθーi sinθ)｝
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1より
=(1/r) ( cos 0 cos θ+i sin 0 cosθーcos 0 ・ i sinθーi^2 sin 0 sinθ)
=(1/r) ( cosθーi sinθ) …cos θ=1 sin 0=0より

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/02 13:12

素直に計算するだけです！

1／z=(1/z)(1/ cosθ+i sinθ )
分母の有利化して
=(1/z)(cosθーi sinθ)/｛(cosθ+i sinθ)(cosθーi sinθ}｝
( cosθ)^2 +(sinθ)^2=1 より
=(1/z)(cosθーi sinθ)