実数a,b,cがa+b+c=2 を満たすとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求めよ 教えて下さい！

実数a,b,cがa+b+c=2 を満たすとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求めよ

教えて下さい！

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/04 18:33

球面の式を使うとか、平方完成にするとか、色々あるけど、1例

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≧(ax+by+cz)²：コーシー・シュワルツの不等式

x=y=z=1を代入すると
(a²+b²+c²)(1²+1²+1²)≧(a+b+c)²
3(a²+b²+c²)≧(a+b+c)²=2²=4

∴(a²+b²+c²)≧4/3

この回答へのお礼

ありがとうございます！
面倒でなければ、平方完成で解くやり方も教えていただけませんか？

お礼日時：2017/05/04 18:39

No.1 回答者： teenagerhesitate 回答日時： 2017/05/04 18:33

c=2-a-bとして代入すると、2a^2+2b^2-4a-4b+2ab+4となります。

この式を、ｂを定数とみてaが変数（パラメタ）であるとして、この式をaで微分すると、4a-4+2bとなり、この値が0となるとき、a=1-1/2b（極小値）であり、さらにこれをはじめの式に代入すると、3/2b^2-2b+2=3/2（b-2/3）^2+4/3となり、b=2/3 よってa=2/3,
c=2/3であり、最小値は4/3となります。
この手の問題は、2÷3でa=b=c=2/3と予測できますが、記述が求められるならば上記のようにすればよいです。