極限「lim[n→1-0](n)」の結果と、nそのものの値がどうなっているかを教えて下さい（再)

前回質問していますが、解決してませんので再度投稿いたします。
前回の質問回答はこちらです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9734057.html

質問はタイトルのとおりですが、できればその理由も合わせてお願いいたします。
前回の質問の回答は、主に下記のようでした。
・結果は「1」です。
・ｎ（という文字）はない。
・あなたの質問は質問として成立していません。
・『結果は「解なし」という解釈でよろしいでしょうか』→いいえ。

もし、ｎという文字が存在しない、質問が成立してないとのご回答、
もしくは、それに類する回答でしたら、その根拠もお願いいたします。
念のため、画像を参考に願います。

何卒宜しくお願い申し上げます。

質問者からの補足コメント

• 結果は「１」、nそのものの値も「１」という回答でよろしいでしょうか？
  ご確認のほど、宜しくお願い致します。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 00:07

• ＞何か勘違いをしているようですが、limは極限を表す記号です。
  これは存じております。この意味を理解するために質問をしております。
  
  ＞もしもnが1だと言い切ってしまうと、1/0となり、計算上ありえないことになります。
  ＞ですが、lim 1/(n-1)であれば無限大に発散します。
  一般式としてこの結果になる事は、存じております。
  
  ＞途中過程の数値一切を無視できるのが極限でもあるので、
  これが良く分かりません。無視したら何故上記の式が無限大に発散となるのでしょうか。
  
  ＞かもしれません。
  ＞nはnとしか言いようがないですよ。
  ＞質問になっていないという意見も分かる気がしますね。
  回答者様も、推測を意味する言葉を使用しているので、確実なことは言っていないですよね。
  
  恐れ入りますが、よろしくお願いいたします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 06:39

• 質問はタイトルのとおりですが、タイトルの場合はどうなりますでしょうか。
  宜しくお願い致します。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 09:15

• ご提示の本は持っておりませんし、質問はタイトルのとおりです。
  問うこと自体が無意味であれば、無意味である理由をお教えください。
  
  ＃４の回答より推測できそうでしたが、本題に対して回答を頂けなく、無意味である、
  という解釈が分かりません。
  
  恐れ入りますが、何卒よろしくお願い申し上げます。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 09:27

• ①＞「nを-側からどんどん 1 に近付けたときに、 f(n) はどこへ向かうのか?」
  　＞ということを求めたものです。
  
  ②＞特定の「nそのものの値」というのは決めようがありません。
  
  ①により、②の解釈となる筋道が分かりません。
  
  ①内の「nを-側からどんどん 1 に近付けた」とは、ｎに対して何かしらの値が無いと、
  この文言は成り立たないのではないのでしょうか。
  
  恐れ入りますが、宜しくお願いいたします。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 10:19

• 質問に対する回答をしないのであれば、回答不要です。
  大変恐縮ですが、ご理解のほど宜しくお願いいたします。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 10:26

• ＞「nが特定の値である」ということには、それがある値に近付いているかどうかという内容は入っていません。
  ＃６の①、「nを-側からどんどん 1 に近付けた」とは、「nを-側からどんどん 1 に近付けた」値が
  入っているのではないのでしょうか。
  
  ＞となる、「aよりももっと1に近い値c」 が必ず存在します。
  ＞つまり、「1にもっとも近付けた特定の値」などは存在しえない、ということです。
  
  『必ず存在します。』としながらも、『存在しえない』とするのは、矛盾ではないでしょうか。
  恐れ入りますが、宜しくお願いいたします。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 11:03

• ＞学校の授業で、最初に極限が出てきたときに、具体例として「だんだん近付いていくねぇ」と概念を説明するのはよいでしょう。
  ＞ですが、本当に極限を求めるときには、そんな「具体的な値をどんどん近づけいく」なんてことはしません。
  
  では概念を説明するときに、何故そのように極限を説明するのでしょう。
  私が質問しているのは、最適な解法手段ではなく、あくまでもタイトルです。
  純粋に「nを-側からどんどん 1 に近付けた」値では、なにか不都合が生じるのでしょうか。
  
  ＞これが実数の性質「a<c<1が必ず存在する」と矛盾するからです。
  ＞「特定の値」のような有限の話で、無限の話を考えようとすると、混乱します。
  矛盾を認めるなら、そもそも＃８でご説明頂いた内容が間違いであったということでしょうか。
  
  恐れ入りますが、宜しくお願い致します。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 13:44

• ＞ですからn→1-0(これは上記の条件にさらにn<1を追加したに過ぎません)の極限をとるときnの値がいくつになるか、というのは無意味です。
  ここで「無意味」となる理由が分かりません。
  意味があるかどうかを決めるのは、質問している私ではないでしょうか。
  
  「n→1-0(これは上記の条件にさらにn<1を追加したに過ぎません)」ではｎの値がどうなっているかは説明が付かないということでしょうか。
  恐れ入りますが、宜しくお願い致します。

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 14:55

• 【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。
  
  仮に「数学的に意味がない」ものとしても、それが分かるだけでも私にとっては、
  「数学的に意味がない」という答えが得られたことは、意味があった問いになります。
  
  ＞nを1に近づけるという操作はありません。
  そうであれば、そもそも、極限とはどういう事を示すのかをお教えください。
  また、「lim[n→1-0](n)」の結果を、「nを1に近づける操作」をせずに、
  どのように求めるかを教えて下さい。
  
  恐れ入りますが、宜しくお願い致します。

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/05 16:57

No.19 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 21:09

#17です。

>確かに#14で出てきた不等式
-ε+α<1-δ<1<ε+α
を使えば分かりますね
この不等式自体をどうやって出したのかは＃１４の回答者様の頭の中ですかね

失礼にもほどがある。
これまでの回答を読んでいればこの不等式の導出過程すべてが書いてあるのだからわかる。
ふざけるのもいい加減にしろ。

この回答へのお礼

はい

お礼日時：2017/05/05 21:12

No.18 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/05 20:22

1と解答された方は、lim 〔n〕【n→1-0】ではなくて、lim n【n→1-0】と解釈した人でしょう！でも、1/(nー1) の場合も考えれられるのであれば、

lim f(n) 【n→1-0】と記載された方が誤解ないと思います。ですから
仮に、
f(n)=1/(nー1) ならば、lim f(n) 【n→1-0】=ー∞ に発散して解なしになります。
ただし、ー∞も、解だと考える人がいるならば、その人の考えとしてのー∞が解となります。ただし、私見としては、解なしと考えますが！
例えば、f(n)= l n l ＞0 とおくと、
n の範囲は、0 を除く実数になり、0 という値は、存在しないことになりますが
lim l n l 【n→0】=0 となり、存在しないはずの 0 という値になります。
極限は、向かっている方向性というか、目標が、実際になくてもいいわけです。
社会にでれば、夢はあればいいと言いますが、具体的なものでなくても、ある方向性・目標に向かっていればいいのに似ていますね！時間が来れば、具体的な夢に収束する人もいるでしょう！(アキレスと亀より)

この回答へのお礼

はい

お礼日時：2017/05/05 20:55

No.17 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 20:15

#14です。

>αが分からない状態から、nを1を近づけることもせずに、
また、代入や公式も利用せずに、
「α=1」と分かるまで、どのようにして検証していったのでしょうか

少しは自分で考えようよ。結構簡単に示せますよ。

#14で出てきた不等式
-ε+α<1-δ<1<ε+α
を使う。この式から
-ε+α<1<ε+α
となり
α<1+ε かつ α>1-ε
となります。ここでεは任意の正の数であることから
α≦1 かつ α≧1
であることがわかりこの二つの範囲の共通箇所から
α=1
であることが示せます。

この回答へのお礼

確かに#14で出てきた不等式
-ε+α<1-δ<1<ε+α
を使えば分かりますね
この不等式自体をどうやって出したのかは＃１４の回答者様の頭の中ですかね

お礼日時：2017/05/05 20:52

No.16 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/05 19:10

そもそも極限というものが

> 極限（きょくげん、limit）とは、あるものに限りなく近付くさま。物事の果て。
(wikiより引用)

という、あなたの言うあいまいな概念である以上、
あなたが納得できる説明をするのは難しいと言わざるを得ません。

極限とはf(x)がどんな値に 近 づ く か であり、
実際にf(x)がその値になる必要はないからです。
つまり「nを1に近づける」というのは概念ではなく考え方になります。
（あえて概念を言えというのであれば「境界線」でしょうか）
高校レベルであれば、はさみうちの定理から値を求めても良いですね。
大学レベルの知識をお持ちであれば、
No.10の方の言う定義で収束が言えるので、それから求めても良いでしょう。

この回答へのお礼

概念ではない、という点が、確かに理解しがたいですが、
「nを1に近づける」というのは、考え方としては合っているのでしょうか。
そうであれば、ｎそのものの値が、1に近づく値とは言えないのでしょうか。

恐れ入りますが、宜しくお願い致します。

お礼日時：2017/05/05 19:16

No.15 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 18:51

#14です。

>仮に任意のεを大きな値を取っても、条件により、
それはnと1の差分がゼロに近い値になると存じますがいかがでしょうか。

条件により、ってなに?
nと1の差分がゼロに近い値になる、ではない。
εの値とf(n)の形しだいでnと1の差分は大きくなってもぜんぜんかまわない。
定義にnと1の差分がゼロに近づく、なんて書いてないでしょ。

>すなわちそれは、「nを１に近づける」という意味にも関連があると存じますが、いかがでしょうか
nを1に近づける、というのは高校数学レベルで極限を考える場合に使う説明に過ぎません。
定義に基づいて説明すると、高校生の80%以上は混乱してしまうでしょうからやむを得ずそうしているに過ぎません。

定義に基づく考えとしてはむしろf(n)の値から縛りを掛けていくことになります。
f(n)=nの場合、n→1-0の極限を定義に基づき考えると次のようになります。
この収束値をαとするとあるε>0に対してδ>0が決まり、1-δ<n<1の範囲で
|f(n)-α|<ε
が必ず成り立つようになります。f(n)=nですから
-ε<n-α<ε　⇒　-ε+α<n<ε+α
ということです。これが1-δ<n<1の範囲で必ず成り立つわけですから
-ε+α<1-δ<1<ε+α
となるようにδがいつでも作れるようにαを決めます。これをしっかりと検証するとα=1となります。これがf(n)=nのn→1-0における極限の収束値です。
面倒でしょ。だから普通はこんな計算しない。


＞つまり単に代入するだけでOK.
これは、nを1に近づける場合、代入するだけで求まるから、代入するのではないのでしょうか。
違うのであれば、何故、代入することに至ったのでしょうか。

上記の計算をするのは面倒なので、連続な関数なら代入したものと一致するのでそれでよし、としているのです。
代入できないものもあります。(例：x→0におけるf(x)=sin(x)/xの極限の計算)がそれはそのとき対処法を勉強すればよいでしょう。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

αが分からない状態から、nを1を近づけることもせずに、
また、代入や公式も利用せずに、
「α=1」と分かるまで、どのようにして検証していったのでしょうか。
トライアンドエラーでしょうか。

宜しくお願い致します。

お礼日時：2017/05/05 19:06

No.14 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 17:39

#13です。

議論がかみ合っていないのでまず認識が間違っているところを正しておきましょう。

＞任意のε>0に対して次の条件を満たすδ>0が必ず存在する
＞|n-no|<δを満たすすべてのnにおいて|f(n)-α|<εが成り立つ
これは「数学的に意味がない」とのことですが、
そうであれば、そもそも何故わざわざ定義しているのですか？

数学的に意味がないとは、n→1の極限をとる際に最終的にnがいくつになるか、ということを考えることに意味がないといっているのです。
上記の定義に意味がないといっているのではありません。

上記の定義に従い考えるとn→1-0とするとき、εの値を仮に10000とでもするとnは0.999999でも0でも-5000でもよいということになります。(εは正の任意の数といっているのですから別に大きい数字であってもかまいません)
この定義ではεしだいでnの範囲が大きくなることもあります。nが最終的に何になるか、ということに意味はないのです。意味があるのはnの関数f(n)の値が収束値から±εの範囲にあるかないか、それだけです。
もちろん、任意のε>0としているのでもしかするとεが0.0001だったり、10^(-10000)だったりするかもしれません。その場合でも必ずnoの近傍でf(n)の値は収束値±εの範囲に入らないといけません。

>＞定義から収束値を計算することは普通はしない。
では、その「普通」の方法での求め方を教えてください。

f(n)が連続な関数であれば、
n→noにおいてf(n)→f(no)
です。つまり単に代入するだけでOK.
連続でない関数の場合は約分するなり公式を使うなり、場合によってはロピタルの定理を使って計算したりします。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

＞n→1の極限をとる際に最終的にnがいくつになるか、
私は最終的の値に限定していません。

仮に任意のεを大きな値を取っても、条件により、
それはnと1の差分がゼロに近い値になると存じますがいかがでしょうか。

すなわちそれは、「nを１に近づける」という意味にも関連があると存じますが、いかがでしょうか

＞つまり単に代入するだけでOK.
これは、nを1に近づける場合、代入するだけで求まるから、代入するのではないのでしょうか。
違うのであれば、何故、代入することに至ったのでしょうか。

恐れ入りますが、ご確認のほど宜しくお願いいたします。

お礼日時：2017/05/05 17:53

No.13 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 17:09

#10,12のものです。

＞nを1に近づけるという操作はありません。
そうであれば、そもそも、極限とはどういう事を示すのかをお教えください。

#10を読め。ちゃんと定義を書いてある。といっても読みそうにないのでもう一度貼っておく。
f(n)→α(n→no)の厳密な定義は次のようになります。

任意のε>0に対して次の条件を満たすδ>0が必ず存在する
|n-no|<δを満たすすべてのnにおいて|f(n)-α|<εが成り立つ

この定義は確かに一読しただけでは理解できないかもしれない。じっくりと考えて自分なりに噛み砕くように。

なお、この定義から結果をだす、というのは少々面倒。
収束値がわかっている場合それが本当に正しいのかの判定は定義から検証することはできるが、定義から収束値を計算することは普通はしない。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

＞任意のε>0に対して次の条件を満たすδ>0が必ず存在する
＞|n-no|<δを満たすすべてのnにおいて|f(n)-α|<εが成り立つ
これは「数学的に意味がない」とのことですが、
そうであれば、そもそも何故わざわざ定義しているのですか？

＞定義から収束値を計算することは普通はしない。
では、その「普通」の方法での求め方を教えてください。

恐れ入りますが、何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2017/05/05 17:15

No.12 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 16:29

#10のものです。

質問者は#10の回答をまともに読んでいますか?
#10をしっかりと読みましょう。

＞ですからn→1-0(これは上記の条件にさらにn<1を追加したに過ぎません)の極限をとるときnの値がいくつになるか、というのは無意味です。
ここで「無意味」となる理由が分かりません。
意味があるかどうかを決めるのは、質問している私ではないでしょうか

いいえ。本当に数学的に意味がないので無意味といっているのです。あなたの解釈とかは関係ありません。数学的に意味が歩かないかはあなたが決めることではありません。

#10に書いてあるように、n→1-0の極限をとる操作の数学的な定義においてnを1に近づけるという操作はありません。ですのでnの値が最終的にいくつになるか?などというのは意味がないことなのです。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

解決していませんので、整理の為再質問しています。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9743425.html

お礼日時：2017/05/08 23:01

No.11 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/05 14:46

まさかとは思いますが…

lim f(x) と書かれた時、
lim はf(x)が発散なのか収束なのか極限を考え、その数値や式を求める記号であり、
f(x)そのものを何かに変化させているわけではないことは理解していますよね？

もちろん適当な数値を用いて途中計算するなりして
発散／収束した値を予測はしているのでしょうけど。

それとも質問ではこの途中計算で成り得るnを聞いているのでしょうか。
特定の数値を示せる人はいないとは思いますが。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

仮に、nそのものの特定の数値を示せなければ、
あいまいな概念として「nを1に近づける」のような説明も、できないのではないでしょうか。
恐れ入りますが、宜しくお願い致します。

お礼日時：2017/05/05 15:13

No.10 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/05 14:37

これは極限をとるということの定義を知らないと説明しようがありません。

極限をとる、ということの厳密な定義はε-δ論法によって行います。

f(n)→α(n→no)の厳密な定義は次のようになります。

任意のε>0に対して次の条件を満たすδ>0が必ず存在する
|n-no|<δを満たすすべてのnにおいて|f(n)-α|<εが成り立つ

これが定義です。何か分けのわからないことをいっているように思えるでしょうが、nをnoに近づける、などというあいまいな概念を使用しない合理的な定義です。
この定義にnをnoに近づける、などという操作は一切ありません。nが特定の値に定まるということもありません。
ですからn→1-0(これは上記の条件にさらにn<1を追加したに過ぎません)の極限をとるときnの値がいくつになるか、というのは無意味です。あえて言えば"不定"ということになります。

この回答へのお礼

【補足】※補足投稿制限により、こちらから投稿します。

解決していませんが、キリが無さそうなので、閉め切ります。
こちらＱＡを見て、何か説明されたい方がありましたら、次の掲示板をご利用ください。

極限「lim[n→1-0](n)」の結果と、nそのものの値がどうなっているかを教えて下さい(Open2ch)
http://uni.open2ch.net/test/read.cgi/math/149436 …

お礼日時：2017/05/10 06:36