次の条件を満たす二次関数を求めよ 最小値が－2でグラフは2点(0,0) (－2,－１)を通る この問

次の条件を満たす二次関数を求めよ
最小値が－2でグラフは2点(0,0) (－2,－１)を通る
この問題が分からないので教えて下さい

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/08 09:37

分かる分からないではなく、愚直にやってみるだけのことです。

最小値を持つ二次関数なので、下に凸であり、a>0 として
　y = a(x - b)² - 2
と書けます。x=b のとき、最小値をとります。

これが2点(0, 0) (-2, -1)を通るので、
　0 = ab² - 2
　→ ab² = 2　　　①
　-1 = a(-2 - b)² - 2
　→ ab² + 4ab + 4a = 1　　②

①を②に代入して
　4ab + 4a + 1 = 0
→ 4a(b + 1) = -1
→ a = -1/[ 4(b + 1) ]

①に代入して
　-b² /[ 4(b + 1) ] = 2
→　b² + 8b + 8 = 0

b = [ -8 ± √(64 - 32) ] /2 = -4 ± 2√2

b = -4 + 2√2 のとき
　a = -1/[ 4(2√2 - 3) ] = -(2√2 + 3)/( 32 - 36) = (2√2 + 3)/4 = 3/4 + √2 /2
これは a>0 なので条件を満たす。
よって
　y = (3/4 + √2 /2)(x + 4 - 2√2)² - 2

b = -4 - 2√2 のとき
　a = 1/[ 4(2√2 + 3) ] = (2√2 - 3)/( 32 - 36) = (3 - 2√2)/4 = 3/4 - √2 /2
これは a>0 なので条件を満たす。
よって
　y = (3/4 - √2 /2)(x + 4 + 2√2)² - 2

以上より、求める答は
　y = (3/4 + √2 /2)(x + 4 - 2√2)² - 2
または
　y = (3/4 - √2 /2)(x + 4 + 2√2)² - 2