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積分について質問です

画像に問題と答えがあるのですが、どなたか途中式がわかる方いたら教えてほしいです!

jは虚数単位でiと同じです
j^2=-1
e^(jθ)=cosθ+jsinθ

ちなみに、
∮[-∞→∞]e^(-t^2)dt=√π
はわかるので説明なしで大丈夫です。


問題.
∮[-∞→∞]e^(-at^2-jωt)dt
解答
√(π/a) e^{-ω^2/(4a)}

「積分について質問です 画像に問題と答えが」の質問画像

A 回答 (1件)

∫[-∞,∞]exp(-at^2-jωt)dt=∫[-∞,∞]exp[-a(t-jω/2)^2-aω^2/4]dt


=exp(-aω^2/4)∫[-∞,∞]exp[-a(t-jω/2)^2]dt

この積分は次のような閉じた経路での積分を考えるとよいでしょう。
1.t:-R→R
2.t:R→R+jω/2
3.t:R+jω/2→-R+jω
4.t:-R+jω/2→-R
経路は全てガウス平面上の直線

この閉じた経路で1周積分するとその値はRによらず"0"になります。(被積分関数がいたるとことで正則だから)
で、R→∞の極限をとるとそれぞれの積分を評価するとよいでしょう。
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