アレルギー対策、自宅でできる効果的な方法とは?

相対論を勉強しています。
(趣味です。ただのサラリーマンです)

アインシュタイン ヒルベルト作用から、アインシュタイン方程式を導く
とあるのですが、
じゃあ、アインシュタインヒルベルト作用の式は
どうやって考えつかれたのでしょうか。
ざっと専門書を見たのですが、どれも天下りで、考え方の記述もないような。
なんか気持ち悪く。

物理で、なんでこれで上手くいうかわからない。( F=ma, エントロピー 等々)
みたいのなんでしょうか。
なら、そう本に書いてほしい(~_~;

作用とはそういうものなんでしょうか。

同作用の式の考え方、をご教示頂きたく。

また、参考になる文献があれば、教えてください。

A 回答 (1件)

作用とはそういうものです。



ご存知かと思いますが、「最小作用の原理」という「原理」があって、
それは「原理」ですから、理由はありません。

ある系(今で言うと、質量と重力だけを考慮する系)を記述する方程式の背後には、
ラグラジアンが必ずあって、それから作った作用を最小にする条件(運動方程式)が、
その系を支配する、というのが最小作用の原理です。

つまり、
「作用から運動方程式を導くことも可能」
だし、
「運動方程式から作用を導くことも可能」
です。
(数学的には2番目の方は、作用は唯一にならないかもしれないですが)

なので、この作用は
「アインシュタイン方程式を導くような作用を探した」
が正しいです。
見つけた後で、その作用の意味を考えるのですが、その解釈は知りません。
ただ、解釈でなくとも、作用の形式で書くと、保存量の発見や、他の理論との
統合が容易になるなどの、大きな利点があります。

ちなみに、ニュートンの運動方程式も、解析力学では、より根源的な作用から
導かれるものです。
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この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございます。
すっきり理解できたつもりです。

ありがとうございます。

お礼日時:2017/05/12 17:59

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Q量子力学の理論と実験

量子力学のは理論と実験が、ピタリとあう。

( 以下、間違ってるところ、そんなことないよと
言うところがあったら、ご教授ください。)

それについてわかりやすい
書籍があったら教えてください。

JJサクライを勉強中(まだ上巻途中)なのですが、
たしかに素晴らしい良書だと思うのですが、
ブラケットの雨嵐の理論ばかりで、いまひとつ…

グライナーは例が多く、ゴタゴタ感があってこれもまた。
たしかにわかりやすいのですが?

朝永の量子力学も、いまひとつピンとこない。

サクライをメインに読んでるので、
ブラケットの計算と、ほらピタリと実験値があうみたいな。
そんな書籍です。

Aベストアンサー

書籍じゃないけど、
http://www.riken.jp/pr/press/2012/20120910/
というのがあった。

Q量子力学 波動関数の実数と複素数

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
とおいて、∫(0→a)ψ(x)²dx=1
よりAを求め、
ψ(x)=√(2/a)・sin(nπx/a)
を得ていました 
しかし、講義では波動関数には複素数が定義されている、というか一般式が
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
と教わりました(この部分は板書が汚かったので私が読み間違っている可能性があります)
テキストではなぜか波動関数を勝手に実数に限定しているようです
そのため自分でこの場合も同様にして波動関数を求めてみました
すると
ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
と虚数単位を付けただけで、あとは同じような関数が得られました

テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
この二つを教えていただきたいです
まだ偏微分を習っていないため、電子を一次元内に存在すると仮定しています
ただ検索しても偏微分の記号や偏微分に関するものがあったり、問題設定が決定的に違い量子力学習いたての私では理解ができないです

もし、
ψ(x)=Acos(2πx/λ)+iB(2πx/λ) (A,Bは実数、i=√(-1))
が間違っているようでしたら訂正もお願いします
本当に習いたてですので、もしかなり高等な理論が展開されるようなら、後々習いますよ、とさえ言っていただければ大丈夫です

量子力学習いたてのものです
授業のまとめをしていたのですが、教授の作ったテキストに違和感を感じて投稿しました
一次元井戸型ポテンシャル(範囲が0からa)上の電子から時間に依存しないシュレティンガー方程式を導き、そのあとで、電子のド・ブロイ波の振幅に関するボルンの確率論的解釈(波動関数ψ(x)に対し、ψ(x)²dxをx~x+dxに間に電子が観測される確率とする)を導入したのちに、波動関数の定数部分を求めてみよう、という内容でした。
その時に、テキストでは波動関数ψ(x)を
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Aベストアンサー

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方程式になっている)事を意味します)
そういうことが困るときには、例えば|v|=1のように長さを特定の値に制限することで、向きとベクトルが1対1に対応するようになってくれるのですね。(例えばある計算からv=(3,4)と求まったとしたら、このベクトルの長さで割ったv=(3/5,4/5)を向きを表すベクトルだと思う事にする、という事を言っています)
量子力学の話を念頭に置いた言葉遣いをすると、|v|=1のように長さを制限することを「規格化」と言います。

これと同様な事は量子力学(波動関数)においてもおこります。
波動関数ψが表している状態と、0でない複素数αを用いてαψという波動関数が表している状態は同じものになります。
そうすると、向きとベクトルの話と同様に、必要に応じてαを適切に選ぶことにすれば、ψに関してある条件(規格化条件)を自由に課すことができる事になります。

テキストから引用されている
>ψ(x)=Asin(2πx/λ) (Aは定数)
Aは定数としか言っておらず、実数に限るとは言っていないようですがいかがでしょうか。

>テキストではなぜ実数を考えていたのでしょうか?
お示しのテキストでもそうだと思いますが、多くの場合、|ψ|=1という規格化条件を選びます。
この条件から|A|の値が決まる事になりますがAの位相因子についてはこの条件からは決まりません。
しかし、α倍しても同じ状態を表す事を踏まえると、αの位相を適切に選ぶという事を前提にすれば「Aが正の実数」であるという条件を課すこともできるのですね。

>そして、この波動関数の複素数、特にこの場合での複素数の意味はあるのでしょうか?
>ψ(x)=i√(2/a)・sin(nπx/a)
の事を言っているのであれば、この波動関数に-iをかけてやれば、テキストにある解と一致し、同じ状態を表していることが確認できます。

例えばある棒や矢印の「向き」を表現したいとき、ベクトルを使って表現するのがわかりやすいと思いますが、
ベクトルvの指し示す向きと、正の実数αを用いてαvというベクトルが指し示す向きは同じになりますよね。当然ベクトルの大きさは異なりますが、向きだけを知りたいのであれば大きさの違いがあるかどうかは関係がないわけです。
とは言うものの、何かの向きを求めたいとき、その向きを表すベクトルが複数あるのは不便なことが多いです。(例えばある方程式から向きを求めたい場合、常に解が複数ある(=不定方...続きを読む

Qブラックホールの説明で情報は失われるという話が出ますが、そもそも通常の化学反応で情報は残る?

良くブラックホールの説明でブラックホールに飲み込まれると情報は失われるという話がありますが、化学反応で失われることはないみたいな説明がされます。例えば※1みたいな説明です。
例えば、目の前にある雑誌を10分前に燃やした場合、どのようにすればその雑誌を読むことができるのでしょうか?
仮に周囲の熱運動を全て測定しても、不確定性原理により情報は確率の彼方へと追いやられる(?)のではないでしょうか?素人考えですが、例えば、雑誌を燃やす時に、炭素が周囲の酸素と結合して、電磁波を出した場合、その電磁波を受けた周囲の原子は電磁波を出すでしょうが、その方向はランダムであり正確に測定できたとしても、どの方向から電磁波を受け取ったかは分からないのではないかと思うのです。


※1
http://gigazine.net/news/20170828-black-holes-information-paradox/
しかし、もし灰の中から一つ残らず炭素原子を集めて炎からの煙と熱の正確な性質を測定できれば、理論的には元の紙を再現することは可能です。つまり、紙の情報は失われたわけではなく、あいかわらず宇宙に存在しているということです。ただ、わかりにくくなっただけです。

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Aベストアンサー

>物理量Bは物理量Aの影響を受けた場合、規則性を持って連動するという仮定でしょうか?
「影響を受ける」「規則性を持って連動する」それぞれどういう意味で使っているのか分かりませんでした。

>しかし、通常、例えば、Aが+1/2でBに影響を与えたとしても、Bが+1/2か-1/2いずれかになる確率は50%であり情報を保持できない気がします。
ψ(0)がAの固有値aの固有状態であったのであれば、
Bψ(t)=(UAU^(-1))Uψ(0)=UAψ(0)=aUψ(0)=aψ(t)
なので、ψ(t)はBの固有値aの固有状態になります。
こうなるようにBを選んだのですが、これを踏まえたうえで「Bが+1/2か-1/2いずれかになる確率は50%」と仰っているのでしょうか。



>量子もつれ状態にあれば可能という気がしますが例えば雑誌が燃える瞬間(雑誌は流石に大きすぎますし、光学異性体のある分子が崩壊して元がLかDを調べるような物でも良いです)に周りが都合良く量子もつれの状態になるという事でしょうか?
外界と量子もつれした状態になります。

「都合よく」という言い方からして誤解されていそうなので、定義を確認された方がいいと思いますが、
特定の条件を満たす状態が「量子もつれしてない状態」で、それ以外が「量子もつれした状態」ですよ。
人が情報を取り出せるものに限るとごく一部でしょうが、大部分は量子もつれしてるんですよ。
外界と量子もつれしてる状態は大変扱いにくいので扱う事が少ないだけです。



ただ、情報が残るかどうか考えるうえで、量子もつれ云々というのは本質的な話ではありません。
まずは、1電子系のようなシンプルな系で、情報が残る事について考えてみてはいかがでしょうか。

ハミルトニアンによって時間発展している場合、異なる初期条件から出発すればいつも異なる状態に到達します
したがって、時刻t=τの状態が決まれば、その状態を実現する初期状態(時刻t=0の状態)も一意に決まってしまいます。
初期状態が決まるのですから時刻t=τの状態にも「時刻t=0に持っていた情報」も含まれていなければいけません。
そういう意味で「情報が残っている」わけです。

実際に情報を得るには測定する必要があって、
状態そのものを測定する事はできませんから、(#7,10のように)どんな物理量を通じて測定する必要があるかを考える必要がありますが、
「情報を知る方法」の事は考えずに、「情報が残っている」事だけに注目するならこういう理解で問題ないはずです。

>物理量Bは物理量Aの影響を受けた場合、規則性を持って連動するという仮定でしょうか?
「影響を受ける」「規則性を持って連動する」それぞれどういう意味で使っているのか分かりませんでした。

>しかし、通常、例えば、Aが+1/2でBに影響を与えたとしても、Bが+1/2か-1/2いずれかになる確率は50%であり情報を保持できない気がします。
ψ(0)がAの固有値aの固有状態であったのであれば、
Bψ(t)=(UAU^(-1))Uψ(0)=UAψ(0)=aUψ(0)=aψ(t)
なので、ψ(t)はBの固有値aの固有状態になります。
こうなるようにBを選んだので...続きを読む

Q物理学の計算式など わかりませんが。 【神の数式】見ていて 素粒子の重さは0だけど ヒッグス粒子で重

物理学の計算式など わかりませんが。
【神の数式】見ていて 素粒子の重さは0だけど ヒッグス粒子で重さが生まれる…て 全く意味不明なので どんな事。


1キロの米 も 10キロの米 も 0だけど ヒッグス粒子で重さの解明 形の解明とか 解りやすく教えて。

Aベストアンサー

No4です(^^)
その気持ちというか、考えというか・・・よ~く分かります(^^;)
一体全体、この世界って、どーなってんの?って、考えれば考えるほど分からなくなります(~~;)ウー
しかも、実はこの世は10次元だとか11次元だという説もあってりしますね(^^A)
・・・今のところ、”そんなこと、絶対に信じないぞ!!”って気分です(^^;)
もしかしたら、神様に走った方が頭はスッキリしそうですが、
やっぱり、宗教に鞍替えするは嫌だなぁ~(^^A)
でも、謎が多い方が面白いって言えば、そうですよね(^^)

Q1GB(ギガバイト)って、何g(グラム)の重さですか?

こんにちは。
1GBは、何グラムでしょうか?
GBがデータの単位で、グラムが重さの単位であることはもちろん理解している上での質問でございます。

パソコンで作った1GBのデータは、Wifiに乗せて他の家のサーバーやパソコンやスマホに運べるということは、確かに物体として存在するわけで、どのくらいのデータ量(GB)が集まったら、やっと1gになるのでしょうか?
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

有名な「マクスウェルの悪魔」に関連して、「シラードのエンジン」という話があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%82%AA%E9%AD%94#.E3.82.B7.E3.83.A9.E3.83.BC.E3.83.89.E3.81.AE.E3.82.A8.E3.83.B3.E3.82.B8.E3.83.B3

簡単に結果を述べれば、もし、熱力学の第二法則が正しい(第二種の永久機関が作れない)とするなら、
温度Tの環境で、1bitのデータを記憶するには、最低でも、k*T*log(2) のエネルギーが必要です。
例えば、T=300(K) (27℃)だとすると、1GB 記憶するには、
https://www.google.co.jp/search?q=%28Boltzmann+constant%29%2a%28300+kelvin%29%2aln%281e9%29
8.58346389 × 10^-20 ジュールのエネルギーが必要です。
さらに、有名な E=MC^2 を使えば、これは、
9.55039158 × 10^-37 キログラムに相当します。
https://www.google.co.jp/search?q=%28Boltzmann+constant%29%2a%28300+kelvin%29%2aln%281e9%29%2f%28c%5e2%29

有名な「マクスウェルの悪魔」に関連して、「シラードのエンジン」という話があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%82%AA%E9%AD%94#.E3.82.B7.E3.83.A9.E3.83.BC.E3.83.89.E3.81.AE.E3.82.A8.E3.83.B3.E3.82.B8.E3.83.B3

簡単に結果を述べれば、もし、熱力学の第二法則が正しい(第二種の永久機関が作れない)とするなら、
温度Tの環境で、1bitのデータを記憶するには、最低でも、k*T*log(2) のエネルギーが必要です。
例えば、T=300...続きを読む

Q遠心力はなぜ見せかけの力と呼ばれているのですか?

等速円運動をしている物体は、中心方向にrω^2の加速度を持ち、これに質量mをかけた力Fを向心力といいますが、一方でなぜ遠心力は慣性系で見せかけの力といわれているのでしょうか?個人的には、遠心力は見せかけの力などではなく、向心力との力のつり合いや、向心力の反作用のような気がするのですが。また、遠心力が見せかけの力なのであれば、向心力も見せかけの力であると考えますが、向心力はそういう定義ではありませんよね。遠心力は実際に、水の入ったバケツを振り回した際、水がこぼれなくなる力であり、スクーターなどの遠心クラッチや遠心プーリなどは、この原理を応用して、クチッチや、プーリの開閉をしてギア比の調整をしています。

お教えください。以上です。

Aベストアンサー

例え話、置き換えての説明が理解できないと理解できませんが。
実験、縦横10Cm、20cmの板20cm側に低い壁を作り、板の中央にさいころを置きます。
その状態で板全体を等速で引っ張ります(慣性で等速直線運動の再現?)。
その状態で、板を急に手前(引っ張る方向とは直角方向)に引っ張ります(向心力という加速度?)。
サイコロはどうなるか?、自身の慣性で板上でその場にとどまろうとするが板は手前に移動する結果、向こう側の壁にぶち当たる。
でも、板だけを見るのではなく、周囲の環境も含めて観察すれば、板は引っ張られる方向に動きつつ手前に移動します、つまり斜めに移動、この瞬間が連続すると軌跡が円運動になります。
その結果さいころは向こう側の壁に押し付けられ続けます。
最初のさいころの動き、板の上だけ見ているとサイコロが向こう側に動いたと見えます、でもサイコロには何も力は加わっていません、力が加わり動いたのは板です。
全体を見ると?、透明の板でしたが方眼紙のようなメモリがあると、サイコロは当初から引っ張られている方向には移動していますが、こちら側にに向こう側にも、壁に当たるまでは移動していません。
でも確かに壁に当たり、何等かの力?は当然感じます、これが遠心力。
反対方向に進む電車が同時に停車していて片方が動き出したとき、一瞬はどちらが動いたのかは判断できないのと同じ。
つまり物体自身の慣性により動こうとしないのに相手が動く、相対的に物体自身が動いたよう感じる。
等速直線運動はどちらも同じ条件のため、停止状態と等価、ゆえに、相対的に感じる遠心力は向心力と正反対になる。

例え話、置き換えての説明が理解できないと理解できませんが。
実験、縦横10Cm、20cmの板20cm側に低い壁を作り、板の中央にさいころを置きます。
その状態で板全体を等速で引っ張ります(慣性で等速直線運動の再現?)。
その状態で、板を急に手前(引っ張る方向とは直角方向)に引っ張ります(向心力という加速度?)。
サイコロはどうなるか?、自身の慣性で板上でその場にとどまろうとするが板は手前に移動する結果、向こう側の壁にぶち当たる。
でも、板だけを見るのではなく、周囲の環境も含めて観...続きを読む

Q相対性理論 佐藤

佐藤文隆、児玉英雄著 一般相対性理論を、読みたいのですが。
(趣味、普通のサラリーマンです。)

読み始めて、ほんの十数ページで撃沈です。

須藤靖の一般性相対論、ランダウの力学、古典場の理論は
理解度はもちろん高いとは言えませんが、なんとか通読しました。

あと、立花のリーマン幾何学の教科書1冊ほど。

松島の多様体は勉強中。結構きつい。
微分形式も勉強中。

その他佐藤・児玉を読むために、オススメの参考書があったら
教えてください。

残念ながら、英語はダメです。

やはりこの本は、素人には無理でしょうか。

趣味でそんな本読むなんて、変な奴と思われるでしょうが。
綺麗な数学で書かれた物理に魅力を感じます。

どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

岩波書店から出ている、現代物理学叢書の中の1冊ですね(^^;)
この「現代物理学叢書」は、その昔、「岩波講座 現代の物理学」と言うシリーズ物(?)として出されたものです(´∀`)
ぶっちゃけ、このシリーズは、かなり難易度が高く、学部生レベルでは読めません(。。;)
この本は一般相対性理論の本ですから、大学院生の修士課程レベルでも難しいと思います(><;)
中を開くと、Lie群、Lie代数、とか、後ろの方では量子化について書かれていますが、この本を読んで何とかなる代物ではないですね(T_T)
残念ながら、私の方から、これを読めば良い、なんてアドバイスはおこがましくて出来ません<(_ _)>
しかし、この本の最後にある「文献・参考書」の「参考書」に出ている本を読まれては如何でしょうか?

「やはりこの本は、素人には無理でしょうか」とありますが、そんな事は無いと思います(^^)
ただ、時間が掛かることは否めないでしょうけれど・・・(-_-)
「趣味でそんな本読むなんて、変な奴と思われるでしょうが」・・・そんな事はありません(^O^)
とても素晴らしい事だと思います(o^▽^o)
私の専門は物理なのですが、いろいろな事情がありまして、勉強できない状況にあります( ̄~ ̄;)
こんな私から見ると、も~う、羨ましくて仕方ないです(ρ_;)
どうか、頑張って勉強を続けて下さい、応援しています(^^)/

岩波書店から出ている、現代物理学叢書の中の1冊ですね(^^;)
この「現代物理学叢書」は、その昔、「岩波講座 現代の物理学」と言うシリーズ物(?)として出されたものです(´∀`)
ぶっちゃけ、このシリーズは、かなり難易度が高く、学部生レベルでは読めません(。。;)
この本は一般相対性理論の本ですから、大学院生の修士課程レベルでも難しいと思います(><;)
中を開くと、Lie群、Lie代数、とか、後ろの方では量子化について書かれていますが、この本を読んで何とかなる代物ではないですね(T_T)
残念ながら、私...続きを読む

Q高校物理 場という概念がなぜ必要なのかを教えて下さい!

今電磁気学を勉強しているのですが、唐突に場という概念がでてきて困惑しています。なので、どのような経緯で場という概念ができたのかを教えて下さい。

自分なりに整理してみた考え方は、以下の通りです。
ニュートン力学では、粒子間相互作用が相対位置ベクトルの関数として瞬間的に定まるとしてきたが、現実世界では、情報伝達速度は有限であることから、瞬間的に相互作用が定まると考えることが難しい?場合がある。この情報伝達のタイムラグを補正する概念として、粒子だけに性質を持たせるだけではなく、空間に何らかの性質を持たせた場が考え出された???そうすることで、電磁気学の諸現象を綺麗に説明できるようになった。。。?

場を考え出すことで、なぜタイムラグを補正できるのかがいまいち掴めていないし、そもそも上記の考え方が合っているのかも分かりません。。。

ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

Aベストアンサー

近接作用の考え方では
電荷や質量はそのすぐ近くの「場」を作り、
場はそのまたすぐ近くに場を作りながら「伝わってゆく」
と考えます。当然場が出来てゆくのにタイムラグが生じます。

ゴム膜の中央を押すと周辺が歪むが、歪みが伝わるのに
時間がかかるのと一緒です。

きわめて荒っぽい説明ですがこれでわかりますかね。

ニュートンやクーロンはこうした考え方は認めず
物体と物体が直接力を及ぼしあうと考えました。
真空に力が伝わることを認めたくなかったからです。

現在は、場を介して力が真空を有限の速度で伝わることが
認められていますし実証もされています。

Q中学理科の光についてですが、なぜ波長が違うと見える色が違うのでしょうか?

中学理科の光について質問です。

なぜ波長が違うと見える色が違うのでしょうか?

波長が違うことが、見える色の違いになって現れることに、直感的に腑に落ちません。

Aベストアンサー

「色」と言う実体は世の中には無いぞ!

脳の視覚野が情報を捉え、前頭連合野と言う部分が情報を統制して意識の座に上げる。

意識の座が「あ~青だ」と認識する。主観として「そう思う」。

波長が違うと、網膜から脳の視覚野へ伝わる信号の電気レベルが異なり、受取る視覚野が、異なる詳細情報として識別する。

後は、前頭連合野→意識の座、の情報も少し異なり
「あ~赤だ」と、主観が「そう思う」。

色は、脳と、主観(意識の座)の成せる技。

Q物理の万有引力に関する問題です

次の問題が分かりません。ご教授ください。
恒星から万有引力 -mμ/(r^2) を受ける宇宙船が無限遠方から速度vの速度で飛んできて、恒星の近くを通り、再び遠方に双曲線軌道を描いて飛び去るとき、その運動方向の角度変化θが tan(θ/2)=μ/(pv^2) となることを示しなさい。ただし、pは起動の漸近線と恒星との距離である。
同様に計算して、正に帯電した原子核に多量の陽子を照射したとき、運動方向がθだけ曲げられる電子の数は、sin^4(θ/2)に反比例することを示しなさい。

Aベストアンサー

若干のミスを直すとともに宇宙船の運動の向きを逆にした方がわかりやすいのでそのように変更する

面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を極座標(r,s)表示し
双曲線軌道をs=0の軸に対称になるように配置する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,-α)から
恒星を焦点とする双曲線を描いて恒星を左に見ながら回り込み
t=∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,α)に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上の条件で運動方程式を解いて
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
とできる
rが十分大きいときには軌道が漸近線に一致するとみなせるから三角形面積の公式から
vp/2=H/2⇒vp=H ...(0)
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→∞でs→αである
t→∞でr'→vであるからt→∞として
v=esin(α)(μ/H) ...(1)
である
またt=∞で(r,s)=(∞,α)であるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(0),(1),(2)より
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
である

若干のミスを直すとともに宇宙船の運動の向きを逆にした方がわかりやすいのでそのように変更する

面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を極座標(r,s)表示し
双曲線軌道をs=0の軸に対称になるように配置する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,-α)から
恒星を焦点とする双曲線を描いて恒星を左に見ながら回り込み
t=∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,α)に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上の条件...続きを読む


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