数学です。2番と3番の等号成立条件の求め方がわかりません。教えてください。

数学です。2番と3番の等号成立条件の求め方がわかりません。教えてください。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2017/05/12 20:46

簡単にするために、√x＝a、√y＝b、√z＝c、√w＝dとします。

題意より、a,b,c,dは全て正です。

(1)については結局のところ、「a>0、b>0の場合にa^2＋b^2≧2abが成り立つことを示せ。」という問題と同じとなる。
（a^2＋b^2）－2ab＝（a－b）^2≧0より示される。等号成立条件はa＝bの時である。

同様に、(2)については、a,b,c,d全てが0以上の場合、a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcdであることを示せという問題となる。方針としては、(1)を2回使う。

a^2を単位と考えると、(1)よりa^4＋b^4≧2a^2・b^2とc^4＋d^4≧2c^2・d^2が成立するから、
a^4＋b^4＋c^4＋d^4≧2a^2・b^2＋２c^2・d^2＝２(a^2・b^2＋c^2・d^2)も成立する。等号成立はa^2＝b^2とc^2=d^2、つまりa＝bとc＝dの時。・・・(11)
a^2・b^2＋c^2・d^2についても、(1)よりa^2・b^2＋c^2・d^2≧2abcdが成立する。等号成立はab＝cdの時。・・・(12)。
(11)、(12)より、a^4＋b^4＋c^4＋d^4≧2(a^2・b^2＋c^2・d^2)≧2・2abcd＝4abcd、等号成立はa＝bとc＝dとab＝cdを同時に満たす時なので、a＝b＝c＝d。

(3)は少々お待ちを。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/05/12 20:52

(1) (x+y)/2≧√xy

x-2√xy +y=(√x -√y)^2≧0
等号成立条件は
√x -√y=0
即ち
x=y //

(2) (x+y+x+w)/4≧^4√xyzw
(1) より
(x+y)/2≧√xy [等号成立 x=y]
(z+w)/2≧√zw [等号成立 z=w]
更に
{(x+y)/2+(z+w)/2}/2≧√(√xy)(√zw) [等号成立 x+y=z+w, x=y, z=w]
(x+y+z+w)/4≧^4√xyzw
[等号成立 x=y=z=w]

(3)
1=1/x+2/y+3/z+4/w≧4×^4√(1×2×3×4/xyzw)
(1/4)^4≧24/xyzw
xyzw≧24×256=6144
等号成立条件は
x=4, y=8, z=12, w=16

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2017/05/12 21:22

(3)A,B,C,D共に正の数とする。

(1/x)＝A^4、(2/y)＝B^4、(3/z)＝C^4、(4/w)＝D^4とおくと、やはりA^4＋B^4＋C^4＋D^4≧4ABCDが成立することを利用しましょう。

(2)より、１＝(1/x)＋(2/y)＋(3/z)＋(4/w)≧4・[{(1/x)(2/y)(3/z)(4/w)}^(1/4)]＝4・[{24/xyzw}^(1/4)]
→ １≧4・[{24/xyzw}^(1/4)]
→ 両辺を4乗して１≧256×(24/xyzw)
→ xyzw≧256×24
→ xyzwの最小値は6144である。これを成立させるのは(1/x)＝(2/y)＝(3/z)＝(4/w)なので、これを解くとx＝4、ｙ＝8、ｚ＝12、w＝16の条件が出てくる。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/12 22:15

2)与式=(1/2)｛(x+y)/2 +(z+w)/2｝

(1)より
≧(1/2)(√xy + √zw )
≧xyzwの4乗根
等号は全て1のとき