a/2R×b^2+c^2-a^2/2bc=b/2R×c^2+a^2-b^2/2ca
この式が
a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(c^2+a^2-b^2)
になるのにどんな変形が起こっているのか教えて下さい。

A 回答 (1件)

「a/2R×b^2+c^2-a^2/2bc」の回答画像1
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Aベストアンサー

平方完成(完全平方)の回答書く前に締め切られたので再度

a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ca=4-2ab-2bc-2ca。

この式にc=2-a-bを代入して整理すると。
-a²-2(2b-1)a-b²+2b+4。

これを、aとbについて(完全平方)すると

-{a+(2b-1)}²+3(b-1/3)²+4/3。

これは必ず4/3以上となるので最小値は4/3。
(例えば a=1/3,b=1/3の時、左2個の²部分は0)

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球面の式を使うとか、平方完成にするとか、色々あるけど、1例

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≧(ax+by+cz)²:コーシー・シュワルツの不等式

x=y=z=1を代入すると
(a²+b²+c²)(1²+1²+1²)≧(a+b+c)²
3(a²+b²+c²)≧(a+b+c)²=2²=4

∴(a²+b²+c²)≧4/3

Qa3+27b3+c3-9abc=(a+3b+c)(?) また上の式を利用してa=x-y,3b=y-z

a3+27b3+c3-9abc=(a+3b+c)(?)
また上の式を利用してa=x-y,3b=y-z,c=z-x
とおくと
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=?
?のところはどうやるか教えて下さい。

Aベストアンサー

a,b,cの後の3は3乗ですよね?aの3乗ならa^3という風に書きましょう。

a+3b+cを何倍かしてa^3+27b^3+c^3-9abcとなっているので、a^2+9b^2+c^2倍を考えてみましょう。
(a,b,cの3乗に合わせるため)
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)=a^3+27b^3+c^3+9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c
つまり
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-(9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c)-3abc
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2cについても、a+3b+cの倍数で考えてみましょう。
(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)=3a^2b+a^2c+3abc+9ab^2+3abc+9b^2c+3abc+ac^2+3bc^2
よって
9ab^2+ac^2+3a^2b+3bc^2+a^2c+9b^2c=(a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc
a^3+27b^3+c^3-9abc=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2)-((a+3b+c)(3ab+ac+3bc)+9abc)-3abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abc
=(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-3ab-ac-3bc-12abc/(a+3b+c))
でしょうか。

(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3はそのまま左辺なので、右辺のa,b,cにも代入しましょう。
代入する際は分数の分母が0となる可能性を排除し、
(a+3b+c)(a^2+9b^2+c^2-(3ab+ac+3bc))-12abcに代入します。
(a+3b+c)=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0なので、
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-12abc=-4(x-y)(y-z)(z-x)
となります。

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お願いします。

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点Pを(x,y)と置いて
AP^2=BP^2+CP^2の式に当てはめて、変数について整理してみて下さい。

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わかる方教えて下さい(´;ω;`)

Aベストアンサー

x^3+3x^2+5x+6=0 を因数分解すると(x+2)(x^2+x+3)=0
1つの解を共有する場合、f(x)=x^2+x+kとおくと、f(-2)=0となればよいので、それを解くとk=-2
f(x)=x^2+x-2=0の解はx=-2,1であるので、確かに1つの解を共有する。
2つの解を共有するとき、x^2+x+3=0の2つの虚数解と一致すればよく、x^2+x+3=0と x^2+x+k=0 の2式を比較すると、k=3
よって1つの解を共有するときk=-2、2つの解を共有するときk=3


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