証明問題

『１つの定理の仮定にはいくつもの条件が含まれていることがある。そのような場合には、仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。まず、次の事柄が正しいことを証明し、上のことに注意してこの逆がいくつできるかを考えよ。また、それが正しいかどうかも調べよ。
∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ、（・）ＯＡ＝ＯＢならば（・）ＰＡ＝ＰＢ』

上記の問題が分かりません。証明もそうですが、逆というのはいくつぐらいできるものでしょう。

No.1 回答者： a1107r 回答日時： 2001/06/30 03:33

「次の事項」は

「∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき
∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰかつＯＡ＝ＯＢならば
ＰＡ＝ＰＢである」
として考えてます。

簡単に考えてみます。
∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ・・・甲
ＯＡ＝ＯＢ・・・乙
ＰＡ＝ＰＢ・・・丙
として、
その問題は「甲かつ乙なら丙である」ということですよね。
仮定条件の一つと結論を入れ替えると例えば「乙かつ丙なら甲である」となり、これが正しいかを確かめればいいわけです。他にどんな組み合わせができるでしょうか？

もうちょっとひねくれて考えると、例えば「∠ＸＯＹ内の１点をＰとする」っていうのも仮定の一つであるから、これも結論と入れ替えて考えてみても面白いです。

「次の事項」の証明については、点Ｐは甲の条件から、∠ＸＯＹの角度を２等分する線上にあるから…あとはがんばりましょう。


…ところで、「∠ＸＯＹ内の点Ｐ」というのは、狭い角度の側にある、ということでいいんですよね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/06/30 14:49

この問題の解答としては、「逆」は

(1) ∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき、（・）ＰＡ＝ＰＢかつ（・）ＯＡ＝ＯＢならば、（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ
(2) ∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき、（・）ＰＡ＝ＰＢかつ（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰならば、（・）ＯＡ＝ＯＢ
(3) ∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき、（・）ＰＡ＝ＰＢならば、（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰかつ（・）ＯＡ＝ＯＢ

が期待されていると思います。

●しかし、そもそも「逆」というのは a⇒b という形の論理式に対して b⇒a を言うはず。
なのに何通りも逆がある、というのは一体どういうことか。以下は、出題者（質問者じゃないですよ）に対する揚げ足取りです。

●『∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ、（・）ＯＡ＝ＯＢならば（・）ＰＡ＝ＰＢ』
これを論理式にしてみると、暗黙の仮定も含めて、多分こんな感じでしょう。
∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(Pは∠XOY内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(∠XOP=∠YOP)∧(OA=OB)⇒(PA=PB))
　ここで、(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)の部分は∠XOPと∠YOPが意味をもつための条件として、また(Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)は、距離や角度が意味を持つということを保証する常識的な仮定として、暗黙の内に含まれていると考えられます。
　いささか曖昧なのは(Pは∠XOY内にある)という部分です。これは『PはSのある部分集合Qの要素である。その部分集合とは：「Oを端点としXを通る直線と、Oを端点としYを通る直線とで区切られたSの部分集合の一方」であって「凸である方」』という意味と考えられます。つまり
∀Q((QはOを端点としXを通る直線と、Oを端点としYを通る直線とで区切られたSの部分集合)∧(Qは凸である)∧(P∈Q))
と書ける。これも含めて
∀Q∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(QはOを端点としXを通る直線と、Oを端点としYを通る直線とで区切られたSの部分集合)∧(Qは凸である)∧(P∈Q)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(∠XOP=∠YOP)∧(OA=OB)⇒(PA=PB))
と書いても良いんですが、あんまり長いので以下では使いません。

●このままでは論理式が a⇒b という形をしていないので、そもそも「逆」を考えることはできません。しかし「文脈」を固定してやることで、 a⇒b という形の開いた論理式（自由変数を含む論理式）を取り出し、その「逆」を考える事ができます。この事情については下記URLもご参照下さい。（注意：下記URLで、質問者は回答を誤解したまま質問を閉じています。）

●ではどんな「逆」が作れるか。
[1] 文章通りに素直に考えると、文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(Pは∠XOY内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY))を固定して考えて、仮定は
(∠XOP=∠YOP)∧(OA=OB)
であって、結論は
(PA=PB)
と見るでしょう。だから（同じ文脈における）逆は
[逆]　(PA=PB)⇒(∠XOP=∠YOP)∧(OA=OB)
ですね。

[2] しかし、文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(Pは∠XOY内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(OA=OB))を固定しますと、定理は
(∠XOP=∠YOP)⇒(PA=PB)
ということになる。だから、
[逆]　(PA=PB)⇒(∠XOP=∠YOP)

[3] 今度は文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(Pは∠ＸＯＹ内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(∠XOP=∠YOP))を固定しますと
(OA=OB)⇒(PA=PB)
だから
[逆]　(PA=PB)⇒(OA=OB)
問題文が暗示しているとおり、このように開いた論理式で逆を考える場合には、何が逆かは文脈に依存します。どの部分を仮定とみなすかによって、色んな逆が作れる。これが「逆が沢山ある」という意味です。

[4] ところが、この問題文はさらに「書いてあるものだけが仮定だと思いこんじゃいけないぞ」ということも暗示している。その通りで、暗黙の仮定も文脈から引きずり出してきて構わない。たとえば
文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(Pは∠ＸＯＹ内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(OA=OB)∧(∠XOP＝∠YOP))において
(Sはユークリッド空間である)⇒(PA=PB)
を考えても良い。

[5] 文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀Bだけを固定すれば、仮定は
(Sはユークリッド空間である)∧
(P∈S)∧
(O∈S)∧
(X∈S)∧
(Y∈S)∧
(X≠O)∧
(Y≠O)∧
(P≠O)∧
(Pは∠XOY内にある)∧
(A∈辺OX)∧
(B∈辺OY)∧
(∠XOP＝∠YOP)∧
(OA＝OB)
であって、結論は
(PA=PB)
です。
　この仮定を構成するこれらの１０個余りの因子のうちから、任意の組み合わせを∧でつないだものを仮定とし、残りは文脈として固定して考えることが出来ます。
　例えば文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(OA=OB)∧(∠XOP＝∠YOP))において、
(Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(Pは∠XOY内にある)⇒(PA=PB)
の逆を考えてもよい。
　さらに言うなら、全然関係ない恒真の命題(1+1=2)を持ってきて、文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(Pは∠ＸＯＹ内にある)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(OA=OB)∧(∠XOP＝∠YOP))において、定理を
(1+1=2)⇒(PA=PB)
と表すことも出来ます。この場合の逆は
[逆] (PA=PB)⇒(1+1=2)
　こうなってくると「逆」ってのは実は案外自由なものだと分かります。
　以上が、「色んな逆」についての話です。

●次に、どういう仮定の組み合わせが必要十分条件であるか。
　ある文脈において、a⇒bとb⇒aが共に成り立てば、（その文脈で）aはbの必要十分条件ですね。a⇒bが成り立つだけで、aは十分条件になっていますから、aが必要条件かどうか（b⇒aが成り立つかどうか）が問題になります。
　たとえば仮定(Pは∠XOY内にある)が必要条件じゃないのは明らかでしょう。P≠Oでありさえすればこの定理は成り立つ。（誤解無きよう解説しますと：もし∠XOYの二等分線上にPが無いのなら、単に⇒の左側が偽になるわけで、従って論理式全体としては真です。）ですから、この仮定と結論を入れ替えたものは定理ではない。すなわち
文脈∀S∀X∀O∀Y∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(X∈S)∧(Y∈S)∧(X≠O)∧(Y≠O)∧(P≠O)∧(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)∧(OA=OB)∧(∠XOP＝∠YOP))において
(Pは∠XOY内にある)⇒(OA=OB)
は定理だけれど、
[逆]　(OA=OB)⇒(Pは∠XOY内にある)
は定理ではない。
　(A∈辺OX)もまた必要条件ではありませんね。Oを端点としXを通る半直線上の点Aでも構わない。だからこの仮定と結論を入れ替えたものは定理ではない。
　さらに(A∈辺OX)∧(B∈辺OY)を一緒にして考えると、
((A∈Oを端点としXを通る半直線)∧(B∈Oを端点としXを通る半直線))∨
　(A∈「Oを端点としXを通る直線」から「Oを端点としXを通る半直線」を除いたもの)∧(B∈「Oを端点としYを通る直線」から「Oを端点としYを通る半直線」を除いたもの))
であれば良い。
　ほかにも(Sはユークリッド空間である)というのも必要条件ではないかも知れず、距離と角度が旨く定義された空間（集合）であれば何でも良いのかも知れない。ここで「旨く定義された」というのが具体的にどういう事かを記述すると、これこそが必要条件になる。

●さて、問題文においてXやYが大した役目を果たしていないのは明らかです。こいつらを表に出さずに問題文の定理を書いてみると：
∀S∀O∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(A∈S)∧(B∈S)∧(∠POA=∠POB)∧(OA=OB)∧(P≠O)∧(A≠O)∧(B≠O)⇒(PA=PB))
　これにはX,Yが出てきません。その代わり、問題文の定理はA=B=Oの時にも成り立ちますが、この書き方では(A≠O)∧(B≠O)に限ってしまっている。でも、∀S∀O ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(O∈S)∧(A∈S)∧(B∈S))という文脈では(A=O)∧(OA=OB)ならA=Bですから、(PA=PB)は自明に成り立ちます。これも含めて言うなら、たとえば：
∀S∀O∀P ∀A∀B((Sはユークリッド空間である)∧(P∈S)∧(O∈S)∧(A∈S)∧(B∈S)∧(OA=OB)∧(P≠O)∧(((A≠O)∧(B≠O)∧(∠POA=∠POB))∨A=B)⇒(PA=PB))
　このように文章を論理式に直すだけでもやり方は幾つもある。さらに、暗黙の仮定を陽に書き出すやり方にも色々あるでしょう。(Pは∠XOY内にある)をばらして扱ったモノも考えられる。余計な恒真式を追加して記述することもできる。このように、同じことを表す色んな論理式が作れます。
　言い換えれば、この問題を厳密に扱おうとすると、仮定を論理積として表現した論理式を一つ決めないと話が始まらない。そしてその因子の全ての組み合わせを数え上げる、ということになります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=96470

No.3 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/07/02 10:39

「逆」というのは「○○ならば××である」というのを「××であれば○○である」に入れ換えることだと思うのですが、この場合、回答No.２の（３）だけが正しく「逆」といえるのではないでしょうか。

これは「・・仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえる・・」にあたらないのですが。

証明の例に出ている問題を見ると中学生レベルだと思うのですが、中学生でそんなにたくさん「逆」が出てくるような理論をつかうのでしょうか？

いわゆる三角形の合同条件で、（辺OPは共通）「２辺とその狭角」ですね。（∠XOPは１８０度超でも可）
（１）（２）は「３辺」と「２辺と狭角でないほうの角」

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2001/07/02 14:47

No.2ではちょっと走りすぎました。

stomachman反省。もう少し平易にやりなおします。
＊以下、￢は否定、∧は「かつ」、∨は「または」、⇒は「ならば」です。

　常識的にはnozomi500さんの仰るとおりだと思うんですよ。
　でも、この問題では『仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。』というんですから、出題者は「仮定」というのをx⇒yのxのことではなく、この論理式が成り立つ条件、すなわち文脈（この場合、文脈には『∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき』が含まれています）にまで広げて解釈している。つまり文脈をzとして、
zが成り立つとき、a∧b⇒c
という（開いた）論理式を、x=(a∧b), y=cと読むだけではなく、たとえば
z∧aが成り立つとき、b⇒c　　（aを文脈に含めて考える）
z∧bが成り立つとき、a⇒c　　（bを文脈に含めて考える）
という読み方も許しているのは、明らかだと思うんですよ。
　これを許すことは（nozomi500さんの仰るとおり）普通やらない。だから設問がおかしい。でも、そういう読み方を許すことにしてみたらどうなるか。
　
　許すことにしても構いません。まるでへいちゃらです。
　しかし許す以上は、（・）が付いていない条件や、全然書いてないけれど前提としていると考えられる条件（これらはすべて文脈zに含まれると解釈できます）の勝手な部分dを取り除いたモノz'（つまり(z'∧d)=z）を考え、代わりにa∧bの方を文脈に入れ、元の定理と等価な
z'∧a∧bが成り立つとき、 d⇒c
という論理式を作っても何ら差し支えない筈です。（なぜなら：「z∧bが成り立つとき、a⇒c」は「zが成り立つとき、a∧b⇒c」と同義だと言うんですから、「z'∧(a∧b)が成り立つとき、 d⇒c」は「(z'∧d)が成り立つとき、a∧b⇒c」と同義でなくてはならない。）

　こうしても、もちろん都合の悪いことは何もおこりません。むしろ、問題に明記していなかった条件dを「仮定」として明確に認識できるから、結構な事です。
　しかしながら、「明記してない条件」の表し方は色々ありえますから、こういう論理式はいっぱいできる。さらに上記のdの所に任意の恒真式t（たとえば1+1=2)を持ってきても良い。ゆえに、元の定理と等価な論理式は、無限個作れる。
　無限個作れるものを『いくつできるかを考えよ』と問うのは無茶です。やっぱり設問がおかしい。

　普通『仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。』という考え方を採らないのは、こういう事情だからであろうと思われます。

●なお、この話は多分noname#669さんが求めているレベルを超えていると思いますから、
> 出題者（質問者じゃないですよ）に対する揚げ足取りです。
と断ったんです。もし出題者（先生？）に質問なさる機会でもあれば、と思いまして。