次の問題を教えてください。
図2に示すように、半径a,質量mの球に高さhから図中に示す向きに初速度v0および角速度ω0の回転を与えて床に落とす。球は床に衝突した後高さhまで跳ね返った。
このとき、球は床上を滑ることなく、衝突の前後で力学的エネルギーは保存する。球の慣性モーメントはIである。図中のx軸方向の向きとy軸方向の向きを正とする。(右向き、上向き)
1)床に衝突した瞬間の球のx軸方向、y軸方向および回転の運動方程式を記せ。ただし、球が床から受ける力をF=(Fx,Fy)とする。
2)衝突直後の球の回転角速度ω1を、衝突直後のx軸方向の速度vx1を用いて表してください。
3)衝突直後の球のx軸方向の速度vx1およびω1を求めよ。
4)衝突直後に床に対して垂直に跳ね返るときのω0を求めよ。
1)max=-Fx may=Fy-mg Iω'=aFx
2)ω1=vx1/a
3)vx1=v0だと思いました。この問題を教えてください。

「剛体の運動の問題についてわからないです。」の質問画像

A 回答 (3件)

3)球が床に落ちて、はね返るという現象は一瞬にみえますが、実は非常に短いが0ではない時間τの間の


現象ととらえられます。そして1)2)で導いた式は、この微小時間内で成立つ関係式です。
そこでまず、
max=Fx  の両辺を0からτまで積分します。
すると、ax=dvx/dt より左辺はmvx1-mv0 となり、右辺は∫Fxdt なので
mvx1-mv0=∫Fxdt・・・① となります。これは運動量の変化は力積に等しいというやつです。
つぎに、
 Iω'=aFx の両辺を0からτまで積分しますと、
ω'=dω/dt なので、左辺は Iω1-IIω0、右辺は、a∫Fxdtなので
Iω1-IIω0=a∫Fxdt・・・② が出てきます。
①②から∫Fxdtを消去して、2)で出した vx1=-aω1 と連立させれば
3)の答えが出てきます。そして3)で得たvx1を①の左辺に代入すると
∫Fxdt=-mI(aω0+v0)/(I+ma²) となって∫Fxdt<0、Fx<0 となって確かに摩擦力は
左向きに働くことがわかります。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。理解できました!!!!!三回目のご回答ありがとうございます。微小時間内の運動が関係してくるんですね。バックスピンのボールの原理が理解できました。

お礼日時:2017/05/16 20:54

あのー、たしかに摩擦力は左方向にはたらきますが、


この場合、条件に床から球が受ける力のx成分をFxとするとあるので、
方程式を立てるときは、Fxをそのまま使います。
結果的には、Fx<0 となるので、それで摩擦力が左向きというのが確認できます。
3)については、1)で出したmax=Fx 、Iω'=aFxと2)のvx1=-aω1を使って出すのですが
最初の2つは少し変形が必要です。その辺については明日また説明に来ます、ごめんなさい(^^);
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ひさしぶりに解いてみました(笑)and(汗);



1)max=Fx (-符号はいりません) may=Fy-mg  Iω'=aFx
2) ω1=-vx1/a(これには-符号がいります)
3)vx1=-a(Iω0-amv0)/(I+ma²)  ω1=(Iω0-amv0)/(I+ma²)
4)ω0=amv0/I

じゃないですか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!1)マイナスの符号いらないってことは右方向に静止摩擦力が働くのでしょうか?摩擦力って動く向きと逆に働くのではないでしょうか?3)のvx1の出し方がわからないのですけれど最初の運動方程式を使えば出るでしょうか?

お礼日時:2017/05/15 19:12

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Q角速度のベクトルの方向は何故回転軸なんでしょうか

角速度のベクトルの方向は、回転軸になるというのが納得できません。
例えば、極座標系で、ある粒子がZ軸を中心に右周りに半径を変えず回転していたとして、
位置ベクトルが(s,0,z)だとして、
速度ベクトルは(ds/dt, s*(dθ/dt),dz/dt)=(0,s*(dθ/dt),0)になると思うのですが、
この点からしてもZ軸については速度が0のはずです。
粒子が動いているのは勿論θ方向なので、直感的に(0,Ω,0)がしっくりきます。
なのに、速度ベクトルΩが何故(0,0,Ω)になってしまうんでしょうか。。
どなたか分かる方教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たんに、約束事です。
回転系のベクトルは、右ねじが回転した時に進む方向にとる。という決まりがあるだけのことで、実際の動きとは関係ありません。
こういう向きに決めておくと、なにかと計算上便利ということもありますが。

Q床との衝突による鉄球の運動

床との衝突による鉄球の運動について教えてください。

床からhの位置に鉄球を配置しストッパ等で位置を固定します。
その状態で鉄球をバネで下方向に押さえ込みます。
(バネ定数k、初期位置でのバネの圧縮量はαmm)

その後ストッパを外すと鉄球はバネに押され床に衝突し何回かバウンド
しながら停止します。

この現象について次を教えてください。
なお、その他の条件は次のとおりです。
鉄球の重さ:m 反発係数:e 
床に接したときのバネの圧縮量:α-h(α-h<自由長)
バネによる荷重は垂直方向のみにかかるものとし
鉄球も垂直方向の運動しか行わない。
バネは鉄球に接着されており離れることはない。

1.ストッパを外し鉄球の位置がhxになったときの速度v(hxは任意の距離 h≧0)及び床に衝突するまでの時間T

2.床へ衝突して跳ね返り後の鉄球の最大到達高さh1とh1になるまでの任意の高さhxでの速度v1

3.跳ね返りが終わり停止するまでの時間および跳ね返り数

エネルギー保存の法則にて↓のような式を作って考えていたのですがよくわからなくなりました。(この式が正しいのか間違っているのかすら自信がありません…)

mgh+1/2kα^2=1/2mv^2+1/2k(α-h)^2

具体的な解き方や回答まで教えていただけると大変助かります。

ややこしい問題ですみませんが、お知恵をお貸しください。

床との衝突による鉄球の運動について教えてください。

床からhの位置に鉄球を配置しストッパ等で位置を固定します。
その状態で鉄球をバネで下方向に押さえ込みます。
(バネ定数k、初期位置でのバネの圧縮量はαmm)

その後ストッパを外すと鉄球はバネに押され床に衝突し何回かバウンド
しながら停止します。

この現象について次を教えてください。
なお、その他の条件は次のとおりです。
鉄球の重さ:m 反発係数:e 
床に接したときのバネの圧縮量:α-h(α-h<自由長)
バネによる荷重は垂直方向...続きを読む

Aベストアンサー

軽く解いてみましたが計算が少々面倒で途中で止めてしまいました。

考え方としては、
バネに直結していることから、衝突するまで、そして衝突から衝突までの運動は単振動であること。
重力の影響についてはバネの自然長をオフセットして計算しても良い。

ということで計算可能です。
つまり、初期の圧縮量をα→α'=α+mg/kと置き換えて重力を無視して単振動の問題に置き換えてしまえばOKです。

初速度=0ですからこのときの圧縮量が振幅であり、質量m,バネ定数kであることから最初に衝突するまでの圧縮量(自然長からではなく、重力との釣り合いの位置からの圧縮量)をx(t)とすると
x(t)=α'cos{t*(m/k)^0.5}
となります。
速度は、これを微分して
v(t)=-α'(m/k)^0.5×sin{t*(m/k)^0.5}
が得られます。
任意の高さ、hxの時の速度を求めるには、そのときの圧縮量がα'-(h-hx)であることから時間tを求め、それからv(t)を求めればよい。なお、tは逆余弦関数であらわされることになるため注意が必要。
単に速度を求めるだけならエネルギー保存則を用いたほうが簡単ですが、時間を求めるにはこの式を使う他に方法は無いと思います。

衝突後については、速度がe倍になることを利用して解くことになります。

ただ、衝突時の速度が"0"になることはありえないので停止するまでの衝突回数が有限におさまることはありえません。時間は有限になる可能性がありますが跳ね返り回数は無限回となります。(このところはまだ確認していません。)

軽く解いてみましたが計算が少々面倒で途中で止めてしまいました。

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Q角速度ベクトルωは、cにdθ/dtを掛けたもの ?

半径rの円に沿ってvの速度で等速回転しているとき、速度の大きさは
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ω=(dθ/dt)*c……図8参照
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ここで質問です。
1.ω=(dθ/dt)*cとなるのが分かりません。
 分かりやすい説明をお願いします。
2.図7と、図8でrが出てきますが、同じものなのですか。
 図7と、図8では、rの大きさが違うように思えるのですが。
以上、宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

1.角速度ベクトルωは,ある軸の周りの回転を表すベクトルで,向きは回転軸,その大きさが回転軸に垂直な半径aの円をとったとき,円上の点の速度がa|ω|になるように定義されます.これをベクトルの外積で図8のように

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θは図8の円上の回転角であり,|ω|=dθ/dtとなります.これに回転軸の向きをつけると

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2.図7のrに相当するのが図8のrsinφです.

図7は平面上で原点を円の中心にとり,図8では空間内で原点を回転軸上の任意の点にとっているのです.図8で円の中心に原点をとれば図7のようになりますが,空間的にはそうでない場合もあるでしょう.

Q一定の角速度ωで・・・

一定の角速度ωで、鉛直な直径の周りに回転する半径aの円輪に滑らかに束縛される質量mの質点が、最下点を中心に単振動を行うための条件を求めてください。
という問題で、運動のイメージすら浮かばず、方針も立ちません。
詳しい解説をよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

水平面上にあって円輪とともに回転する座標の原点の十分近傍で単振動する条件。と考えてよいでしょう。

上のようにx軸をとれば
x=asinθ≒aθ
遠心力=maω^2sinθ≒maω^2θ
円輪からうける抗力の水平方向成分=mgcosθsinθ=mgθ
となるので運動方程式は
a(d^2θ/dt^2)=maω^2θ-mgθ
この微分方程式が振動解を得られれば良いので(高校生的にはma=-kxのかたちになればよいので)右辺のθの係数が負になるような条件を求めればよい事になります。

Q角速度ベクトルの方向がkである理由 (お願いします

こんにちは、

確認というか、もし間違っておりましたらご指摘頂きたくどうか勉強させて下さい。
宜しくお願いします。

物理の力学と数学的なお話になるかと思います。
ある点がXY平面状を円運動しているとお考え下さい。その角速度をベクトル表記する場合に
ω = |ω|k
とすることを習いました(ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、ベクトルとお考え下さい)。

なぜ、k、つまりz軸方向の単位ベクトルを使うのでしょうか。
kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。
教科書をよく読んだのですが、このωベクトルは、
「k方向軸を回転軸とする大きさ|ω|の回転を表している」
と突如、数学のルールもなにも無視したような理解の押し付けをされた気がしました。

例えば、x軸方向で大きさ|V|の速度ベクトルを表すならば、
V = |V|i
で全く理解できますが、上記の角速度ベクトルについては??のままでした。
このような半信半疑の状態のまま、教科書を進んでいくと、回転運動をしている点の線速度、線加速度ををベクトル表記するというように進んできました: 線速度ベクトルV、線加速度ベクトルa

すると、位置ベクトルR、および最終的に外積を使って、
V = ω X R
と表すことができるのですね。
ここにきて、ようやく、「もしかしたら・・・」
という考えが湧きました。

角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R
としたかったからではないでしょうか。
ベクトル表記を使わない場合で、|V| = |ω||R|
というのは既に分かってますし、これに酷似した表記として
V = ω X R というようにしたかった、のではないかと思いました。
このように表記したかったとしたら、外積の定義から考えて、
確かにωはkベクトルをつかって表記する必要があります。

とこのように、私の出した結論は、角速度ベクトルをkベクトルを使って
表すのは、「便宜上、そうすると都合が良い」、ではないかと思いました。

いかがでしょうか。同様に、角加速度ベクトルαを表すのにkベクトルを使うのも
a = α X R
という形で表したかったのではないかと考えています。

以上、分かり辛い文面になっていることかと思いますが、どうもお伝えするのが難しいニュアンスのことを伺っておりまして、このようになっておりますことご容赦下さい。
また、改めて申し上げますが、ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、
ベクトルとお考え下さい。

私なりにかなり悩み抜いた末の、結論なのですが、どうか
ご確認の程、どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、

確認というか、もし間違っておりましたらご指摘頂きたくどうか勉強させて下さい。
宜しくお願いします。

物理の力学と数学的なお話になるかと思います。
ある点がXY平面状を円運動しているとお考え下さい。その角速度をベクトル表記する場合に
ω = |ω|k
とすることを習いました(ベクトルを示す矢印を記せないので| |が表示されていない場合は、ベクトルとお考え下さい)。

なぜ、k、つまりz軸方向の単位ベクトルを使うのでしょうか。
kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。
教...続きを読む

Aベストアンサー

>角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R としたかったからではないでしょうか。

 その通りだと思います。

 ただし数学的形式である外積と、物理的回転には、想像以上の関連があります。

 まず角速度ベクトルを考えるためには、線速度を考えなければなりません。そして線速度を定義するためには、無限小の変位ベクトルを考える必要があります。そこで、無限小の回転による、位置ベクトルの変化(無限小の変位ベクトル)を考察します。

 Tを無限小の回転を表す直交行列とします。Tの具体的形は、添付図の(1)のようなものです。(1)ではδ~0で、(1)はxy平面内の微小な回転を表す、回転行列と了解できると思います。回転行列とは直交行列の事である事も、ご存知と思います。

 回転による微小変位ベクトルdRとは、Rを位置ベクトル,Eを単位行列として、

  dR=TR-R=TR-ER=(T-E)R    (1)

の事だというのは、OKですよね?。ここでT-E=εとおけば、εは、微小な回転変位(微小な回転による単位行列からのずれ)を表す行列です。T=ε+Eです。εの成分は、その定義から微小です。


 εの性質を調べます。

 ^tを、行列の転置を表すとして、TとT^tの積を取れば、

  T・T^t=(ε+E)(ε+E)^t=(ε+E)(ε^t+E)=ε・ε^t+ε+ε^t+E → ε+ε^t+E   (2)

になります。(2)の最後の、→の部分は、εの成分が微小なので、その積ε・ε^tを落としても、時間微分には影響しないという意味です。Tなんか考えたのは、(1)の時間微分((1)をdtで割る)を考えるためです。


 ここで直交行列の定義を思い出します。それは、T・T^t=Eでした(これも、ご存知と思います)。これと、(2)の一番右側を等置すると、ε+ε^t+E=Eより、

  ε+ε^t=0

となります。つまり無限小回転変位(dtで割れば回転の線速度v)を表す行列εは、反対称行列です。ところが反対称行列というのは一般的に、添付画像の(2)のように表せます。それにR=(x,y,z)^tとして、Rをかければ、貼付画像の(3)のようになり、外積の定義に、ぴったり一致します。

  ・本当は、こちらの事情が先にあったんです.

 なので、外積(擬ベクトル)とは、#7さんの仰るように、反対称テンソル(反対称行列)の「省略記法」の事です。そしてそれが有効なのは、3次元に限られます。3次の反対称行列の独立な成分数は(たまたま)3なので、ちょうど3次元のベクトルと同様な挙動を示す、という意味です。これが#7さんの、

>反対称テンソルを用いた方が,3次元「空間」に対する記述としてはキレイに思われる面もあります。しかし,数学的操作としてはより簡単ともいいがたいので,ベクトル積という中間的な方法をとっているということもできます。

の意図だと思います。


 これが、V=ω×Rの正体です。そして少し調べるとすぐわかりますが、ωには、角速度の大きさも回転軸も方位も、およそ回転に必要な全ての情報が含まれています。こうなると角速度ベクトルωを用いる事は、もはや必然です。


 このような説明を受けた(?)のは、ゴールドスタインの古典力学の剛体運動の章を読んだ時でした。以上のような説明が書いてある本を自分は、これ本以外には知りません。特に数学関係の本は全滅です(それにはそれで、理由があります)。

 ゴールドスタインを読んだとき初めて、回転と外積と擬ベクトルの概念の意味がわかりました。そして3次の反対称テンソルを、(擬)ベクトルとみなすと言いだしたのは、恐らく19世紀のグラスマンです。

 グラスマンは学生時に数学科だったにも関わらず、神学科の講義ばかり聴いていて、それらの影響で外積などを着想したそうです。つまり外積や擬ベクトルは、出自の物が物だけに、素人にはかなり抽象度の高い概念だと思います。初見で「なんだこりゃっ?」と思うのは、むしろ当然(そっちの方が素直)と自分には思えます。


>概念の後先を論じることにはあまり意味を認めませんが、
>>(2)v=ω×r となるように角速度ベクトルを定義した
>とお考えになっても
>>もしくは、
>>(3)v=ω×rとなるように、ベクトルの外積を定義した
>とお考えになっても構わないと思います。ご自身で、納得がいく物語を作ることって、悪いことではないと思いますから。

 #5さんの応答には、自分も全く同意します。でも、「ご自身で、納得がいく物語を作る」ろうとすると結局、「概念の後先を論じること」になるんですよね。これが自分の感想です。


 いやぁ~、自分の同じような感覚を持っていらっしゃる人はいるんだな、と今回は思いました(^^)。ただし、その感覚に忠実過ぎると、確かに学習効率は落ちます。その辺が悩ましい所ですよね?(^^;)。

>角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R としたかったからではないでしょうか。

 その通りだと思います。

 ただし数学的形式である外積と、物理的回転には、想像以上の関連があります。

 まず角速度ベクトルを考えるためには、線速度を考えなければなりません。そして線速度を定義するためには、無限小の変位ベクトルを考える必要があります。そこで、無限小の回転による、位置ベクトルの変化(無限小の変位ベクトル)を考察します。

 Tを無限小の回転を表す直交行列とします。Tの具体的形は...続きを読む


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