ベクトル解析の線積分について。
ベクトル関数F(0,xyz,0)について頂点が(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)である3角形の境界における線積分の値を求めよ。という問題を教えて頂きたいです。
できたらそのまま線積分する方法とストークスの定理を用いる方法を教えて頂けたら嬉しいです。

質問者からの補足コメント

  • 向きは原点の観測者から見て時計回りです。
    恐らく1変数、2変数の各パラメータ表示の仕方だけでもわかれば後は自力でできると思うのでそこだけでも教えて頂きたいです。

      補足日時:2017/05/15 16:22

A 回答 (1件)

これは答えだけなら簡単ですね。

"0"です。
三角形の辺上でFは常に0→なので積分しても"0"になります。(x,y,zのいずれかが辺上で"0"です)

そのまま線積分する場合は3辺それぞれを次のようにパラメータ表示すればできます。
(1-t,t,0)
(0,1-t,t)
(t,0,1-t)
tの変域は自分で考えましょう。

ストークスの定理を使う場合は平面上の点を2変数で表す必要があります。
x,y座標が決まれば自動的にz座標は決まりますのでx,yをそのまま使えばよいでしょう。
次にこの面の法線ベクトルを求めます。対称性から(1,1,1)の定数倍であることは簡単にわかります。あとは大きさと符号だけの問題です。
rotF→の計算は地道に微分して計算するだけです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました助かりました。

お礼日時:2017/05/15 22:57

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1

この数式を求める式を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/2+(1/2)*(-1)^n
n=0,1,2,...

Q(x,y,z)が(0,1,4),(0,2,1),(0,3,2),(0,

(x,y,z)が(0,1,4),(0,2,1),(0,3,2),(0,4,3)のとき、zをx,yで表すことはできますか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#3です。続きです。

24個全部について、zをx,yで表わしたい場合は、#3で求めた式を使って、24個を、
(x0,y,z0(y)),(x1,y,z1(y)),(x2,y,z2(y)),(x3,y,z3(y)),(x4,y,z4(y)),(x5,y,z5(y)) (y=1,2,3,4)
とするとき、
z=z0(y)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)(x0-x4)(x0-x5)}
+z1(y)(x-x0)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x1-x5)}
+z2(y)(x-x0)(x-x1)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)(x2-x5)}
+z3(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x4)(x-x5)/{(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)(x3-x5)}
+z4(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x5)/{(x4-x0)(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)(x4-x5)}
+z5(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)/{(x5-x0)(x5-x1)(x5-x2)(x5-x3)(x5-x4)}

#3です。続きです。

24個全部について、zをx,yで表わしたい場合は、#3で求めた式を使って、24個を、
(x0,y,z0(y)),(x1,y,z1(y)),(x2,y,z2(y)),(x3,y,z3(y)),(x4,y,z4(y)),(x5,y,z5(y)) (y=1,2,3,4)
とするとき、
z=z0(y)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)(x0-x4)(x0-x5)}
+z1(y)(x-x0)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x1-x5)}
+z2(y)(x-x0)(x-x1)(x-x3)(x-x4)(x-x5)/{(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)(x2-x5)}
+z3(y)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x4)...続きを読む

Qv1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R

v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R3の2次元部分空間の正規直交基底を求めよ。

という問題なのですが、「Rnのm次元部分空間」(ここでは、R3の2次元部分空間)はどのようにもとめればいいのでしょうか。また、問題の詳細な解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

シュミッドの直交法


v1およびv2の線形結合から、正規直交系のベクトルV1,V2を作る方法です。
※ベクトルは何本あっても大丈夫です。

まず、v1はそのまま正規化して
V1=v1/|v1|
とします。
次に、v2に対して
V2={v2-(v2,V1)V1}/|v2-(v2,V1)V1|
と変換します。
このベクトルとV1との内積は
(V1,V2)=0
なので直交します。

もし、ベクトルが3本あったとしても
V3={{v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1}|v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1|
を作れば、V1,V2,V3は正規直交系です。

この問題の場合

V1=(0,1,1)/√2
V2={(1,1,0)-(0,1,1)/2}/|~|
=(1,1/2,-1/2)/|~|
=(2,1,-1)/√6

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qaベクトル=(1,2,1) bベクトル=(2,3,1) cベクトル=(3,5,2) について k・a

aベクトル=(1,2,1)
bベクトル=(2,3,1)
cベクトル=(3,5,2)
について
k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
になるのが
k+m=0
l+m=0
であり、この解がk=m,l=m,m=m (mは任意の実数)
となって
-m・aベクトル-m・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
より、cベクトル=aベクトル+bベクトル
と参考書ではしていたのですが、なぜ
「k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル」を考察することにより「cベクトル=aベクトル+bベクトル」という関係を見出すことができたのですか?

Aベストアンサー

> k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル

この式の意味が解っているのですか?
0ベクトルってどういう状態?
例えば、原点からベクトルaでk倍動き、そこからベクトルbでl倍動き、そこからベクトルcで倍動いた、って事ですよね。
適当に図示して下さい。
それが0ベクトルになる。
どういう軌跡を描くでしょう?

この問題は、aベクトル+bベクトルを計算すると、=cベクトルになっちゃうところがミソというかオチです。
そんな難しいことを考察しなくても、丁度あなたがここに書いたベクトルの成分を、aとbで足してやればcになっている。
あなたのように縦に並べちゃうと問題にならない。きっと問題では横に並べていたでしょう。(笑)
つまり、たったこれだけの操作で見えてくることってあるんです。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報