a>0として、3次方程式ax^3-6ax^2+64=0が異なる3つの実数解を持つように、定数aの値の範囲を定めよ。

分かる方、解説よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

y=ax^3-6ax^2+64 とおいて


増減表(グラフ)を書いて
(極大値)>0、(極小値)<0   ⇐ グラフをかけば、x軸と異なる3点で交わる
となるようなaの値の範囲を求めればよい。
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y=ax^3-6ax^2+64 (a>0) とおくと


y'=3ax^2-12ax=3ax(x-4)
y'=0 とおくと
x=0, 4
増減表は
(添付写真)

増減表より
x=0 のとき極大となり極大値は
64
x=4 のとき極小となり極小値は
64a-96a+64=-32
a+64

3次方程式ax^3-6ax^2+64=0が異なる3つの実数解をもつためには
y=ax^3-6ax^2+64 のグラフが x 軸と異なる3点で交わればよいから
極大値 > 0 ・・・・・ ① かつ 極小値 < 0 ・・・・・ ②
が成り立てばよい。
① より
64>0 
これは常に成り立つ (すべての a(>0) に対して成り立つ)・・・・・ ③
② より
-32a+64<0
-32a<-64
a>2
a>0 より
a>2 ・・・・・ ④
③、④ より
a>0
「a>0として、3次方程式ax^3-6ax」の回答画像4
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判別式を計算する.

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a>0で、0ではないので、最初に、両辺をaで割ってから、微分して、極大値、極小値を求めていけばいいよね! x^3ー6x^2+64/

a=0 より
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