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高校数学を勉強中の者です。

数学で、公理の定義はわかっても具体的にどんな公理があるのかわかりません

公理とは以下のような定義と考えています。

論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題

公理を元に定義が生まれ、そこから定理が開発されると理解していますが、

肝心の公理とは具体的にどんなものがあるのか、教科書には載っていません。

現代数学(特に高校数学のレベル)の公理を集めたような本やサイトがあれば教えてください。

A 回答 (4件)

有名なのは、ユークリッドの5個の公準でしょうか?


議論の出発点の「要請」事項です。

1 任意の点から任意の点へ直線を引く
2 有限直線を連続して1直線に延長する。
3 任意の位置と距離で円を描く
4 全ての直角は等しい
5 1直線が2直線に交わり、同じ側の内角の和を2直角より小さくすると
この2直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側
にで交わる。

今の数学の全ての分野は公理系で成り立っているので、
「代数 公理」「幾何 公理」「線形代数 公理」「集合論 公理」など、個別に検索すれば色々解ります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/06/10 09:09

駿台予備校の公式集…数学コメンタール?…昔の本の名前


が、まとまって良かったかな?予備校時代の!
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https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

を参考にしてください!
私は、大学1年以来、数学は一度も勉強しませんでしたが、子供の受験のために、
数学3を勉強して、数ヶ月間で、教科書をマスターして思い出して、また、大学1年の教科書にて行列式や差分、和分も理解できるようになりました。また、最近では、この教えてgoo!さんにて、ベクトルの外積や行列式の余因子や重積分も少しできるようになりました
これも、学生時代に数学を独学したお陰かなと思います。来年、還暦になりますが、
高校数学をマスターするには、どこのでもいいので、教科書をするのが一番いいです。
答えだけでいいので、わからなかったら質問すればいいだけですから!あと、
BS放送の放送大学の"初めての数学"が高校レベルなので、視聴されたら参考になるでしょうし、微積分や微分方程式や非ユークリッド幾何学などの放送は、大学レベルなので、
私には、難しいですね!
どれが、公理でどれが定義かはわかりかねますが、数学は、一番大事なのは、
基本概念です。例えば、
対数とは?
ベクトルとは、
その基本概念から、ほとんど全ての定理が導けますから、暗記が不要です。
基本的な 三角形の面積だって、座標と積分で、導き出せますから!
基本概念の理解→基本例題をたくさん解く→応用問題へ!
では、頑張ってください!でも、 チャート式参考書は、ダメ !センスなさすぎますから!
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> 公理を元に定義が生まれ


この辺は違うかな。
公理と定理はどちらも命題ですが、定義は違います。
定義はいわば名前付けです。

それで質問の具体的な公理の例ですが・・・高校レベルはすぐに思いつきませんね。
大学レベルだと集合論の公理系とかありますけど。
あと有名なのはユークリッド幾何学における平行線の公理でしょうか。
# https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C …
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/06/10 09:09

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増減表は

 x  |  0  |     |  1 |   | -2c
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーー+ーーー+ーーーーー
f '(x) |  0  |  ー  |   | - |  0 
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーー+ーーーーーーーーー
f(x) | 最大  | ↘  |   | ↘ | 最小

増減表より
f(x) は x=1 で最大値をとることに反する。
よって、c の値は存在しない

(ii) -2c<1 つまり -(1/2)<c<0 のとき
増減表は

 x  |  0  |    |  -2c  |   |  1
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーーー+ーーー+ーーーーー
f '(x) |  0  |  ー  |    | + |  0 
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーーー+ーーーーーーーーー
f(x) |     | ↘  | 極小 | ↗ |    

x=1 で最大値をとるから
f(1)≧f(0)
1/3+c+{(2/3)c-(1/12)}≧(2/3)c-(1/12)   ⇐ f(x)=(1/3)x^3+cx^2+{(2/3)c-(1/12) であれば 
c≧-(1/3)
よって、
1(1/3)≦c<0

(i)、(ii) より
c のとりうる最小値は
c=-(1/3)

f '(x)=x^2+2cx=x(x+2c)
f '(x)=0 とおくと x=0, -2c
c<0 より -2c>0

(i) 1<-2c つまり c-(1/2) のとき
増減表は

 x  |  0  |     |  1 |   | -2c
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーー+ーーー+ーーーーー
f '(x) |  0  |  ー  |   | - |  0 
ーーー+ーーーー+ーーーー+ーーー+ーーーーーーーーー
f(x) | 最大  | ↘  |   | ↘ | 最小

増減表より
f(x) は x=1 で最大値をとることに反する。
よって、c の値は存在しない

(ii) -2c<1 つ...続きを読む

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