【高校】数学の因数分解がわからない

高校1年生ですが、数学の因数分解だけがさっぱりわかりません。
勉強はしていなくはないし、他の単元だとできたりするのですが、因数分解だけはなぜか出来ません。
公式で、すらっと解けるヤツはできるのですが、
ちょっとでも整理したり置き換えたりする必要があるややこしい問題になるともうダメなんです。太刀打ちできなくなるんです。
どういう順序で置き換えをしたり整理したりという指針がまったく立てられず、
問題を見たら、まず何をするのかがわからないのです。
ですから、まず因数分解では何をすべきかということを段階を踏んで説明していただきませんか？
公式はわかります。「置き換え」とかのワザもわかります。
その"ワザ"のの活用方法がわからないのです。"ワザ"の発動順序がわからないのです。
もしもこんなわからずやの自分にわかりやすく説明できる方、いらっしゃいましたらご教授願います。
よろしくお願いします。

No.13 回答者： kogofumimi 回答日時： 2005/07/11 02:48

【まず心構え】因数分解せよ、という問題が出題されたということは、その式が因数分解できることが保証されているのですから、あきらめずに考え続けることです。

以下に、ある文字について１次または２次の場合の必勝法（必ず解ける方法）を書きますので参考にしてください。

【必勝法】最低次数の文字で整理してください。
（その１）　Ｍａ＋Ｎ＝０
の形に整理できたら、これが因数分解できる必要十分条件はＭとＮに同じ要素があるということですから、それでくくれば良いのです。
（その２）　Ｌa^2+Ｍa+Ｎ=0
の形に整理できたら、Ｎが因数分解できて、たすきがけでaの一次式の積に因数分解できます。

さて、No.４の方が例題として出した問題ですが、次数の高いもので整理した場合、その結果が３次以上になると必勝法がありません。次数の低いもので整理して、上の必勝法を適用してみましょう。
a^4+2ba^2+a^2+2b=0
は、aが四次、bは一次なのでbに注目してまとめてみると、
(2a^2+2)b+a^4+a^2=0となります
この式はすぐに、
2(a^2+1)b+a^2(a^2+1)=0
と変形できますから、(a^2+1)でくくって、
(a^2+1)(2b+a^2)＝0　と、解けます。

【心構え】でも書きましたが、因数分解できるかどうか判定し、証明せよなどと言う問題は、高校の段階では出ないと思いますので、頑張ってください。

No.12 回答者： kapiyoko 回答日時： 2005/05/14 23:11

私が高校のときに習って結構役に立った言葉は

「次数の低いものに注目してカッコでくくる」
というものでした。
ややこしいのは展開して、次数が最も低いものでカッコにくくると結構先が見えてきてうれしいです。
試してください。

No.11 回答者： dan040828 回答日時： 2005/04/23 22:10

こんにちわ。

高校２年のものです。
自分も数学は大の苦手です。。とくに１年のときの因数分解最初結構くるしみました。けど今は得点源なんです。

正直「ワザ」の使い方の順序などを覚えるのもひとつだとはおもいますが、因数分解は「数」です。
失礼かとはおもいますが、niyaricomicsさんはそこまでたくさん問題をこなしてないのではないでしょうか。

数こなしてもわかんないもんはわかんないんだ、と言われそうですが、最初は答えをみながら解けばいいんです。最初はすぐわかんなくなったら躊躇しないで答えをみて「あぁこうなるんだ」位にすすめていってみてください。
基本的に因数分解のパターンは数種類しかないとおもいます。（高校範囲では、、）
答えをみてでも数をこなせば「ワザ」は意識しなくても自然とでてきます。

部活などがあるのでしたら時間をかけるのは難しいかとおもいますが、ぜひ多くの問題にふれてみてください。
解ける快感も味わえるようになると思いますよ！！”！

No.10 回答者： hinebot 回答日時： 2004/08/27 09:39

#3です。

（今は因数定理は１年生じゃないんだ…）

#8さんの(4)複２次式の例です。

複２次式というのは、x^2=t とおくとtの２次式になるものです。

ex1.
x^4+x^2-2
この場合、x^2=t とすると
t^2+t-2 =(t-1)(t+2)
とそのまま因数分解できるのでxに戻して
x^4+x^2-2=(x^2-1)(x^2+2)=(x-1)(x+1)(x^2+2)
でＯＫですね。
(注) x^2-1 でまだ因数分解できるのを忘れないこと

ex2.
x^4+x^2+1
この場合、x^2=t として tの２次式にしてもそのままでは因数分解できません。
こういうときは、両端（x^4と1）に注目して、和と差の公式に持っていきます。
x^4+1 =(x^2+1)^2-2x^2 と考えるわけです。
すると、
x^4+x^2+1
={(x^2+1)^2-2x^2 }+x^2
=(x^2+1)^2+(-2x^2+x^2)
=(x^2+1)^2-x^2　　　　　　ここでx^2+1=A とおくと
=A^2-x^2 =(A+x)(A-x)　　　←ここで和と差の公式適用
={(x^2+1)+x}{(x^2+1)-x}
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

※#4さんの「a^4+1」も同じ考え方です。

[余談]
問題がカッコ付きの場合、一旦展開して整理するのが基本ですが、問題によっては全部展開しなくても良い場合もあります。
#8さんの例題
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
もそうです。後ろ２つのカッコだけはずします。
=a^3(b-c)+b^3c-ab^3+c^3a-bc^3
展開した部分についてaを含む項とそうでない項に分けて整理します。
=a^3(b-c)+(-ab^3+c^3a)+(b^3c-bc^3)
=a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2)
=a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c)
これで b-c が共通因数としてくくれることが分かります。
=(b-c){a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)}
{　}の中を展開します。
=(b-c){a^3-ab^2-abc-c^2a+b^2c+bc^2}
{　}の中だけ考えると、aが3次、bとcについてはそれぞれ2次式なので、bまたはcについて整理します。（bでやってみます）
=(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ca)b+a^3-c^2a}
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c^2-a^2)}
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)}
今度は c-a が共通因数としてくくれます。
=(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)}
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-ac-a^2)
最後の(　)の中は、a,bが2次、cが1次なのでcについて整理します。
=(b-c)(c-a)(bc-ac-a^2+b^2)
=(b-c)(c-a){-(ac-bc+a^2-b^2)}
=-(b-c)(c-a)(ac-bc+a^2-b^2)
=-(b-c)(c-a){(a-b)c+(a+b)(a-b)}
a-b が共通因数としてくくれます。
=-(a-b)(b-c)(c-a){c+(a+b)}
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

こっちの方法を思いつくかどうかは慣れですね。
ここまで書いておいて何ですが、最初のうちは、地道に展開して降べきの順に整理、を心がけましょう。
今は、こういう方法もあるよ程度に留めておいてください。

No.9 回答者： zou3 回答日時： 2004/08/27 03:42

↓間違いました。

　　「項べきの順」ではなく「降べきの順」でした。

　また、(6)で

(6)項が４つ以上→最低次数の文字で項べきの順にして、項が３つの二次式なら、たすきがけ


　　ちなみに、文字が３つあると
　　ａ→ｂ→ｃ→ａ　　
　　ab / bc / ca / a±b / b±c / c±a　と表すのが普通みたいです。
　　これを「輪環の順」というらしいです。　　　

No.8 回答者： zou3 回答日時： 2004/08/27 03:31

高校１年１学期の内容だとこうなります。

まず、(0)共通因数があればそれでくくる。
これは中学校でやったのでわかりますね。

次に
項が何個あるのかを考えるのです。
(1)項が２つ→２乗引く２乗なら、和と差の積の公式
　　　　　　３乗＋３乗なら、(A+B)(A^2-AB+B^2)の公式
３乗＋３乗なら、(A-B)(A^2+AB+B^2)の公式

(2)項が３つ→ある文字についての２次式なら、たすきがけ
(3)項が３つ→ある文字についての２次式なら、与式＝０として、この解がｘ＝Ａ，Ｂなら
(Ｘ－Ａ)(Ｘ－Ｂ)
(4)が３つ→複２次式(Ａとおく)(和と差の積を利用)
(5)項が４つ→(a±b)^3になる可能性がある
(6)項が４つ以上→最低次数の文字で項べきの順にして、項が３つなら、たすきがけ
(7)項が４つ以上→最低次数の文字で項べきの順にして、項が２つなら、共通因数でくくる
(8)項が４つ以上→最低次数の文字で項べきの順にして、項が４つ以上なら、共通因数でくくる
(9)ａ~3＋ｂ~3＋ｃ~3＝～　の式を利用する

※(10)因数定理を利用する(来年に習うと思います)

ここで「項べきの順」がわかっているのかが問題です。
No.6さんの例題２で
2x^2+5x+yx+3+y　だと、項が４つ以上あるので上の(6)か(7)か(8)です。
この式を最低次数で項べきの順にすると
2x^2+5x+yx+3+y
=(x+1)y+2x^2+5x+3　だと賢い人は納得できるんですが
私のようにアホな場合は、
=(x+1)y+(2x^2+5x+3) こうします。
この式はｙについて一次式なので、
一次式は項が２つです。(ｙの１次の項)＋(定数項)だからです。
そうすると定数校のカッコでくくったところが因数分解できるかどうか考えると上の(2)でたすきがけ。
そうすると
2x^2+5x+yx+3+y
=(x+1)y+(2x^2+5x+3
=(x+1)y+(x+1)(2x+3)
　ここで、この式で上の(0)を利用し(x+1)が共通因数なので(x+1)でくくります。
=(x+1){y+(2x+3)}
私のようなアホは途中は省略せずに{ }を使います。
=(x+1)(2x+y+3)

よくある問題です
ex.
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=a^3b-a^3c+b^3c-ab^3+c^3a-bc^3
=(b-c)a^3+(-b^3+c^3)a+(b^3c-bc^3)
=(b-c)a^3+(-b^3+c^3)a+bc(b^2-c^2)
=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b+c)(b-c)
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
=(b-c)(a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2)
=(b-c){(-a+c)b^2+(-ac+c^2)b+(a^3-ac^2)}
=(b-c){(-a+c)b^2+c(-a+c)b+a(a^2-c^2)}
=(b-c){(-a+c)b^2+c(-a+c)b+a(a+c)(a-c)}
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b+a(a+c)(-c+a)}
=(b-c)[(c-a)b^2+c(c-a)b+a(a+c){-(c-a)}]
=(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(a+c)(c-a)}
=(b-c)(c-a){b^2+bc-a(a+c)}
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-a^2-ca)
=(b-c)(c-a){(b-a)c+(b^2-a^2)}
=(b-c)(c-a){(b-a)c+(b+a)(b-a)}
=(b-c)(c-a)(b-a){c+(b+a)}
=(b-c)(c-a)(-a+b)(c+b+a)
=(b-c)(c-a){-(a-b)}(a+b+c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

この問題ができたときは嬉しかったです～。
　　
参考書の解説や賢い方々の解答は
上の途中の式が省略されています。
賢い人たちからは
「こんなに書いてバッカジャナイノー」って言われました。

途中の式を省略せず、学校の問題集やチャートやシグマなどの参考書の問題を
上の(1)～(9)のどのパターンになのか
それともこのパターンには当てはまらない問題なのか。
ルーズリーフノートにパターン別に書いておくと結構いけますよ。

がんばれ～。

No.7 回答者： porco 回答日時： 2004/08/26 22:46

　こんばんは。

意外に見落としがちなのが、因数分解で、最初にやらなきゃいけないのが、各項に共通の文字があった場合、それでくくる、とか、くくれる数字があったら、まずそれでくくるということです。
　これをやらないと、泥沼にはまるかもしれません。
　問題を、もう一度見直してください。参考まで。

No.6 回答者： yukichi623 回答日時： 2004/08/26 19:58

個人的には、式の展開に慣れることで、因数分解もよくわかってくると思っています。

例えば、
(a+b+c)(a-b-c)=?
なる問題が与えられたときに、そのままだらだらと展開してしまうのか、それとも、
{a+(b+c)}{a-(b+c)}=a^2-(b+c)^2
って計算すれば簡単じゃん！って気づくかどうかで、因数分解で解ける問題の範囲も違ってくると思うんですよね。

また、基本概念は
(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
なる公式を思い浮かべ、”ある文字の2次式は左辺の形に因数分解することができる”ということですが、このあたりは押さえていらっしゃるものと思います。


さて、問題のワザの発動順序ですが、基本は次に示すとおりです。というか、このパターンの問題が多いと思います。
1.与えられた式の中から、一番次数の低い文字を見つける。
2.与えられた式を、一番次数の低い文字に関する式だとみなして、降べきの順に整理する。
3.注目した文字の0次の係数(ax^2+bx+c だったら、xがかかってこない定数項cの部分)が因数分解できるので、因数分解する。
4.さらに全体を見渡して、たすきがけなどで因数分解する。
といった順序になると思います。

ex1.
2x^2+5x+yx+3+y　　　　yの式とみなして項べきの順に並べる
=(x+1)y+2x^2+5x+3　　　2x^2+5x+3の部分を因数分解
=(x+1)y+(x+1)(2x+3)　　全体を見渡すと、共通因数(x+1)が見つかるので、全体を(x+1)でくくる
=(x+1)(2x+y+3)　　　　因数分解終了

ex2.
3x^2+2y^2+7xy+11x+7y+6　　　x,yの次数は同じなのでどちらかの項べきの順に整理する
=3x^2+(7y+11)x+2y^2+7y+6　　2y^2+7y+6の部分をたすきがけで因数分解
=3x^2+(7y+11)x+(2y+3)(y+2)　　全体を見渡して、たすきがけで因数分解
=(x+2y+3)(3x+y+2)　　因数分解終了

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2004/08/26 18:24

#3です。

>a^4+2ba^2+a^2+2b=0

この問題の場合
第１項　a^4
第２項　2ba^2
第３項　a^2
第４項　2b
として、第２項と第４項に2b がある。これを2bでくくってみるとくくった残りは　a^2+1。
まてよ、第１項と第４項もa^2 でくくれはa^2+1が出てくるぞ。
というわけで
a^4+2ba^2+a^2+2b=a^2(a^2+1)+2b(a^2+1)=(a^2+2b)(a^2+1)
という風に考えられるとよいのですが。
要は、いかに共通因数を見つけ出すかですね。

>a^4+1=0　を実数の範囲で因数分解せよ

一応、答えだけ書いておきましょうか。
{a^2+(√2)a+1}{a^2-(√2)a+1}=0
となると思います。

No.4 回答者： nich 回答日時： 2004/08/26 17:26

文字が二つ、三つと多くなってくると混乱してしまうのでしょうか。

例えばa,b,cが入った式について考えるとしましょう。このとき、一番高い次数を持った文字に注目して、一番大きな次数の文字の方程式だと考えてみればすっきりします。具体例を挙げると、（いい例が思いつかなくてスマヌ～）
a^4+2ba^2+a^2+2b=0
の場合、aは四次、bは一次なのでaに注目してまとめてみると、
a^4+(1+2b)a^2+2b=0　となります。ここまでくれば、
(a^2+2b)(a^2+1)=0 と因数分解できますが、慣れていなければ、a^2=tなどと置いてみれば二次方程式の因数分解に帰着されます。
ＨＰが結構分かりやすいと思うので、見てみてください。

【余談】最近見た問題で、こんなのがありました。結構難しいかもしれませんが考えてみてください。
　a^4+1=0　を実数の範囲で因数分解せよ

参考URL：http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/sushi …