(至急)この数学の問題の解き方と回答を教えてください。

lim(n→∞)an=α , lim(n→∞)bn=0

lim(n→∞)an bn = {lim(n→∞)an} {lim(n→∞)bn}
=α・0=0
を証明せよ。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/01 12:42

素直に ε-δ でいいのでは?

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/31 22:38

適当な数列をあてがえばよいのでは？

a[n]=α+1/n
b[n]=1/n
とおくと、
lim[n→∞] a[n]・b[n]
=lim[n→∞] (α+1/n)・1/n
=lim[n→∞] ( α/n +1/n^2 )
=lim[n→∞] α/n + lim[n→∞] 1/n^2
=0+0
=0


lim(n→∞)an bn を {lim(n→∞)an} {lim(n→∞)bn} と変形してしまうと
a[n]とb[n]のnを同時に無限大してゆく過程がなくなってしまうので、
正しい解が求まらない可能性がありますね。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/05/30 22:38

問題の意図が判りません。

証明なら出来とるやないか! と突っ込みたくなります。

lim(n→∞)an=α , lim(n→∞)bn=0

の時

lim(n→∞)an bn = 0

を証明せよ。

という問題なら、

lim(n→∞)an bn = {lim(n→∞)an} {lim(n→∞)bn}
=α・0=0

が答となります。

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/30 22:36

第一行：lim(n→∞)an=α , lim(n→∞)bn=0 は、前提で、an および bn は n → ∞ の極限で有限確定値を持っている、と言っているのでしょうか。

an・bn の、n → ∞ の極限を計算したいのですが、最初の等式がなぜ成り立つかを証明しないといけないのですよね？

an および bn が n → ∞ でそれぞれ有限確定値をもっているなら、an・bn の積の(n→∞)の極限がそれぞれの極限の積で表せる、と証明しないといけない。

どうするんでしょう？

二番目以降の等式
{lim(n→∞)an} {lim(n→∞)bn} =α・0 = 0
は自明とするような気がします。

難しいですね。