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A,B,Cを定数とする。x^2+2x+17/x^3-x^2-5x-3=A/(x+1)^2+B/x+1+C/x-3がxについての恒等式である時A,B,Cの値は?
この問題を教えてください。

A 回答 (4件)

(x^2 + 2x + 17) / (x^3 - x^2 - 5x - 3) = A/(x + 1)^2 + B/(x + 1) + C/(x - 3)


ですか?

この式と、問題文の式は違うということが分かりますか?
正しい式で質問しないと、正しい答えは付きません。

質問内容が上の式だとすると、左辺分母は
 x^3 - x^2 - 5x - 3 = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - 3x - 3
           = x^2(x + 1) - 2x(x + 1) - 3(x + 1)
           = (x + 1)(x^2 - 2x - 3)
           = (x + 1)(x - 3)(x + 1)
           = (x + 1)^2 (x - 3)
となります。
ということは、両辺に (x + 1)^2 (x - 3) をかければ
 
 x^2 + 2x + 17 = A(x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1)^2
         = (B + C)x^2 + (A - 2B + 2C)x + ( -3A - 3B + C)

となります。
これが恒等的に成り立つためには
 B + C = 1
 A - 2B + 2C = 2
 -3A - 3B + C = 17
これを解けば
 A = -4, B = -1, C = 2
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答えは A = -4, B = -1, C = 2 ですか?

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両辺に x^3-x^2-5x-3 をかければ



x^2+2x+17=A(x-3)+B(x+1)(x-3)+C(x+1)^2

となり、あとは、右辺を展開して降べきの順に並べればよいのでは?
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とりあえず, どこが分子でどこが分母なのか明確にしてほしいね.

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 Σ(k=1~n)k = (1/2)n(n + 1)   ①      ←これは必須でしょう。
より
 Sn = (1/6)n(n + 1)(2n + 1) + (1/2)n(n + 1)
   = (1/6)n(n + 1)[ (2n + 1) + 3 ]
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角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置くと、
余弦定理から、
a^2=b^2 +c^2 -2・b・c・cosθ
2^2=(√3 -1)^2 +(√2)^2 -2(√3 -1)・√2・cosθ
4=4-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
0=-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
2√2(√3 -1)cosθ =-2(√3 -1)
√2cosθ =-1
cosθ =-1/√2

三角形の内角の和は180度なので、0<θ<π だから
θ =3π/4
が解答となります。

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

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