A,B,Cを定数とする。x^2+2x+17/x^3-x^2-5x-3＝A/(x+1)^2＋B/x+1

A,B,Cを定数とする。x^2+2x+17/x^3-x^2-5x-3＝A/(x+1)^2＋B/x+1+C/x-3がxについての恒等式である時A,B,Cの値は？
この問題を教えてください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/01 23:25

とりあえず, どこが分子でどこが分母なのか明確にしてほしいね.

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/02 00:05

両辺に　x^3-x^2-5x-3　をかければ

x^2+2x+17=A(x-3)+B(x+1)(x-3)+C(x+1)^2

となり、あとは、右辺を展開して降べきの順に並べればよいのでは？

No.3 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/06/02 00:14

答えは A = -4, B = -1, C = 2 ですか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/02 13:04

(x^2 + 2x + 17) / (x^3 - x^2 - 5x - 3) = A/(x + 1)^2 + B/(x + 1) + C/(x - 3)

ですか？

この式と、問題文の式は違うということが分かりますか？
正しい式で質問しないと、正しい答えは付きません。

質問内容が上の式だとすると、左辺分母は
　x^3 - x^2 - 5x - 3 = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - 3x - 3
　　　　　　　　　　 = x^2(x + 1) - 2x(x + 1) - 3(x + 1)
　　　　　　　　　　 = (x + 1)(x^2 - 2x - 3)
　　　　　　　　　　 = (x + 1)(x - 3)(x + 1)
　　　　　　　　　　 = (x + 1)^2 (x - 3)
となります。
ということは、両辺に　(x + 1)^2 (x - 3)　をかければ
　
　x^2 + 2x + 17 = A(x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1)^2
　　　　　　　　　= (B + C)x^2 + (A - 2B + 2C)x + ( -3A - 3B + C)

となります。
これが恒等的に成り立つためには
　B + C = 1
　A - 2B + 2C = 2
　-3A - 3B + C = 17
これを解けば
　A = -4, B = -1, C = 2