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最近見た問題で気になったもので質問があります。
x^3+207xy+y^3=328509をみたすときのx^2-xy+y^2の最小値を求めよという問題です。
なんとか解けたのですがなんだか解き方がキモチワルイです。エレガントな解き方があったら教えてほしいです。
あと、この問題の出典も気になります。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

328509を素数分解しておく。


=3・109503
=3・3・36501
=3・3・36501
=3・3・3・12167
=3・3・3・23・529
=3・3・3・23・23・23

x^3+207xy+y^3 をx+yを意識して式変形すると、
x^3+207xy+y^3
=(x+y)^3 -3x^2 ・y -3xy^2 +207xy
=(x+y)^3 +3xy(69 -x-y)
=(x+y)^3 +3xy(69 -x-y)

この式から x+y=69 のとき
=(x+y)^3 =(69)^3 =(3・23)^3 =3・3・23・23・23 =328509
になることがわかります。

よって、この条件で
x^2-xy+y^2 = (x+y)^2 -3xy
が最小値をとればよいわけです。

条件から (x+y)^2 =(69)^2 =4761
で固定値をとるから、-3xyが最小、
つまりxyが最大になるようなx,yを決めればよいことがわかります。

このようなx,yは、x=yなので、
x=y=69/2 の場合に最小値をとることになります。

したがって、x^2-xy+y^2 の最小値は
x^2-xy+y^2
=y^2 -y^2 +y^2
=y^2
=(69/2)^2
=4761/4
であることがわかります。
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