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lim[x→∞]log(1+x)/x

これってどう解けばいいんでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • すいませんlim[x→∞]log(1+x)×1/x

      補足日時:2017/06/12 18:51

A 回答 (4件)

ものすごく大きい x のとき、log(1 + x) << x なので、0 に収束するのでしょうか。

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ロピタルの定理を使っていいなら、



lim[x→∞] {log(1+x)}/x
=lim[x→∞] {1/(1+x)} / 1
=lim[x→∞] 1/(1+x)
=0

使ってはダメなら、ちょっと面倒ですが以下のやり方。

まず、lim[t→∞] { t / (e^t-1) } = 0は明らか、とします(※)。
で、e^t-1 = xとおくと、t→∞というのはx→∞ということ。
t=log(1+x)なので、lim[x→∞]{log(1+x)/x} = lim[t→∞] { t / (e^t-1) } = 0となります。

※:tとe^tの比較なので自明でしょうが、証明せよということなら、証明は容易です。
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f(x)=√(x)-log(x+1)


f'(x)=1/(2√(x))-1/(x+1)=(√(x)-1)^2/((x+1)(2√(x)))
よって0<xで0<f'(x)であるからf(x)は0≦xで単調増加
よって0<xでf(0)=0<f(x)
よって0<xで0<log(x+1)<√(x)
よって0<xで0<log(x+1)/x<1/√(x)
よってx→∞でlog(x+1)/x→0
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高校生ですか。


 どう解けばいいかって、習った通りに解けばいいんでしょう・・・過去に習得した知識が、次に向かう問題の、武器や道具になって使えないと
  正に、数学は解き方を覚える暗記科目になってしまいます。
 知識にはなりにくいと思います。式を鑑賞する境地にたどり着くといいですね。
 質問します。
   高校のとき lim[n→∞](1+1/n)^n=e・・・①または lim[n→0](1+0)^(1/n)=e となることを(定義?このnは自然数でしたが章末で、実数に拡張されているかと思います。)
  として学ばれたでしょうか。または理解したでしょうか。
  
 だから lim[x→∞]log(1+x)/x を質問するのではなくて、 lim[n→∞](1+1/n)^n=e を質問してほしく思います。(この証明は大学レベル)
 本題に戻ります。
   lim[x→∞]log(1+x)/x=lim[x→∞](1/x)log(1+x)
             =lim[x→∞]log{(1+x)^(1/x)} ①より
             = log(e)=1
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