ベイズの定理として、以下のようなものがあります。
p(a,b)=p(a|b)p(b)=p(b|a)p(a) 一般的にはp(x|y)=...という風に示されることが多いと思いますが。

この定理を拡張して
p(y|x,z)=p(x|y,z)p(y|z)p(x|z)
となるようです。p(x|a,b,c..)にも自然に拡張して定義されるようです。
この式は冒頭のp(a,b)=...からの拡張として示せるのでしょうか。
pの中の(a,b)と(y|x,z)を見比べると、a=y|x, b=z という風に見えるのですが、その先を進めることができないようです。
あるいは、p(y|x,z)はp(y|(x,z)) と考えてx,zが成立することを前提としてyが成立する確率ということでしょうか。とすると、a=y,b=(x,z)として展開するのかなと思いますが、それも行き詰るようなのですが。

p(y|x,z)=p(x|y,z)p(y|z)p(x|z)やその拡張をベイズの定理の基本式をもとにどのように理解すればいいでしょうか。この形式が出てきたら関数的にこのように処理すればいい、というだけなのでしょうか。

A 回答 (1件)

まず。


p(y|x,z)=p(x|y,z)p(y|z)p(x|z)
ではなくて、
p(y|x,z)=p(x|y,z)p(y|z)/p(x|z)
の間違いですね。

>pの中の(a,b)と(y|x,z)を見比べると、a=y|x, b=z という風に見えるのですが、
これは違います。そこで、区切っては駄目です。

>p(y|x,z)はp(y|(x,z)) と考えてx,zが成立することを前提としてyが成立する確率ということでしょうか。
こちらが正しいです。

で、
P(y|x,z) = P(x|y,z) P(y|z) / P(x|z)
の証明ですが、まじめにやるなら、
http://d.hatena.ne.jp/seinzumtode/20141106/14152 …
の「その2」みたいにやるんでしょう。

ただ、2変数の場合のベイズの定理
P(y|x) = P(x|y) P(y) / P(x)
で、
zが成立するときを、全事象とすることにすれば、全てのおしりに「|z」を追加して、
P((y|x)|z) = P((x|y)|z) P(y|z) / P(x|z)
で、
定義より、
P((y|x)|z) = P(y|x,z)
P((x|y)|z) = P(x|y,z)
ですから、
P(y|x,z) = P(x|y,z) P(y|z) / P(x|z)
がでてきます。
つまり、実質的には、この式は、2変数のベイズの定理そのものです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。ミスプリのご指摘もその通りです。
p(y|x,z)=p(y|(x,z))と考えるということですが、”そのような取り決めになっています”と、どこにも明示されていません。例えば足し算と掛け算の混合した式の計算は掛け算が優先する、ということは小学校で教えられた(明文化もされている)わけですね。"|"についてもはっきりと文字で説明する文献があるといいのですが。
()で囲むというのは一手間かかりますが、非常に分かりやすいです。()の中はカプセル化されて独立しているということで。そういう風にはならないのでしょうか。
また、明文化するとしたら、「|は、その右側は,)の前までが条件付き確率の条件を示す。」ということですが。

お礼日時:2017/06/14 06:15

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