a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b という問題で、背理法を使ってε=(a−b)

a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b
という問題で、背理法を使ってε=(a−b)/2となるεを取っているのですが、そもそもεはa-bより大きい値だと書いてあるのに、a-bより小さい(a-b)/2を取っていいんですか？

a-bより大きい値で取った時に、矛盾することを示さないとダメじゃないですか？

なにか変な感じがするので教えて下さい❗️

質問者からの補足コメント

• ここに書かれている質問で疑問が起こったのですがhttps://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q1410566 …

    補足日時：2017/06/13 19:41

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/13 15:48

>>任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b

って、そもそも、どこか問題を間違えてない？

a=11,b=2, εは任意だからε=10とすると
a<b+εは、11<2+10となり、前提は成立する。
結論のa≦bは11≦2　?
成立しない

この回答へのお礼

ありがとうございました、
これは、ネットで見た問題なので、ちゃんとした問題をまたあげようと思います。

お礼日時：2017/06/14 07:30

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/13 21:55

>>a<b+εならばa≦b

これの証明法が間違っている。
あなたの言う通りで、「a<b+εならばa>b」とすると矛盾する
「だから、a<b+εならばa≦b」と言わないといけない。

命題が完全に間違っている。

No.3 回答者： UFCKY 回答日時： 2017/06/13 16:24

背理法を用いるとするならば、

「任意のε>0に対してa<b+εならばa>b」と仮定し、矛盾を示すこととなる。
a>bであることから、a-b>0であり、(a−b)/2>0である。
従って、任意（数学では全てのを意味する）のε>0に対してとあるので、
ε=(a−b)/2>0を用いてb+εを計算してみると、
b+ε=b+(a−b)/2=(a+b)/2<(a+a)/2（∵a>b）=aとなり、
b+ε<aとなってしまう。
これは、任意のε>0に対してa<b+εに矛盾してしまう。
何故矛盾したかというと、a>bを仮定したからという流れになるかと思います。
如何でしょうか。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/13 15:21

「任意のε>0に対してa<b+εならばa>bと仮定する」

を否定したい訳ですよね？

a<b+εとはならないεにしたい訳です。

a<b+ε　だからa-b<ε

なのでa-b<εとならない様なεにしたい。
つまりεがa-bより小さい値なら何でも良いわけです。

だからε＝(a-b)/2にすれば解り易いから(a-b)/2にしてるだけです。

ε＝(a-b)/3、(a-b)/4、(a-b)/5、(a-b)－２でも何でも構いません。
εが(a-b)より小さければ何でもいいんですよ。