この問題ので
速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、
rωは分かりますがなぜcosωtとなるのでしょうか

「この問題ので 速度vのBに対する直角成分」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 私なりには時刻tでのθとrωの関係をこう考えました。
    しかしなぜθ?の角度がθになるのか分かりません。どこを間違えているのでしょうか

    「この問題ので 速度vのBに対する直角成分」の補足画像1
      補足日時:2017/06/15 13:59
  • 遅れて申し訳ありませんでした
    これが補足の図1、2です。微積分が分からないのですが、微積分が分からないとこの問題は分からないのでしょうか

    「この問題ので 速度vのBに対する直角成分」の補足画像2
      補足日時:2017/06/15 18:31
  • また何度も申し訳ありません
    回答して下さった事をずっと考えていたら何か理解できそうです。
    よく考えてみます。

      補足日時:2017/06/15 19:01
  • ありがとうございました
    vcosθについてお二人が散々基準が重要とのアドバイスしていただいたのを元に考えていたらようやく分かりました!(多分これでいいと思うのですが)
    左から右へ磁束密度Bが向かっているときに導体棒が1→2に来たときのvの直角成分はvをベクトルと考えました

    「この問題ので 速度vのBに対する直角成分」の補足画像4
      補足日時:2017/06/16 17:41

A 回答 (7件)

>左から右へ磁束密度Bが向かっているとき



問題では t=0 の時、コイル面と磁場が
垂直だから、①でt=0とすると
磁場の向きが違うよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!ようやく以前の回答でおっしゃっていたsinθの理解ができました!
基準がt=0で地場に垂直なのでvsinθになるのですね。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2017/06/17 03:43

>左から右へ磁束密度Bが向かっているとき



問題では t=0 の時、コイル面と磁場が
垂直だから、①でt=0とすると
磁場の向きが違うよね。
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>数学の基本がまだまだできてないようです



θ(?) はそこじゃないですよね?

何処ぞで拾ってきた答えに惑わされず
自力で導きけるはずですよ。

sinかcosかなんて、角度の基準のとり方次第。
拾ってきた式が正しい保障はどこにもないです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!お二人のヒント(基準次第)を元に速度のベクトルで補足のように考えたら分かりました!

お礼日時:2017/06/16 17:38

vはコイルの長さLの部分の、磁束Bに対して垂直な速度成分でしょうか?



rωsinωt

でしょう。
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この回答へのお礼

数学の基本がまだまだできてないようです。ありがとうございました

お礼日時:2017/06/16 04:04

No.1&2 です。

「補足」の図を見ました。

まず、「速度」云々を忘れて、コイルの中を通る磁束線の数を考えてみましょう。
図のように、コイル面が磁束線に直角なときを t=0 としましょう。このときに磁束線の数が N0 本だとすると、コイルが角度 θ 傾いたときにコイルが横切る磁束線の数は
 N0 * cosθ
になりますよね? θ=0 のときコイル面は磁束線に垂直になるので横切る磁束線の数は N0 そのもの、θ=パイ/2 のときコイル面は磁束線に平行になるので横切る磁束線の数はゼロになります。この式のとおりですよね?

この θ が時間とともに変化して、
  θ = ωt
のときには、時刻 t のときにコイルが横切る磁束線の数は
 N(t) = N0 * cos(ωt)      ①
になります。

図に書かれているように、この N0 を、コイルの面積 S としても同じです。磁束線が通過する「コイルの断面積:S」(磁束線と直角な断面積)は
 S * cosθ
です。磁束密度を B とすると、
 B * S = N0
ということになり
 N(t) = B * S * cos(ωt)    ②
ということになります。

ここまではよいですか? ここまでは「速度」には関係しない、「瞬間の値」の話です。


次に「速度」の話に移ります。「速度」は「位置(座標、変位)」の微分(単位時間当たりの変位量)なのですが、微分を使わずに説明しましょう。
上に書いたように、
   θ = ωt
で回転しているとすると、角度を「ラジアン」で表わすと、微小時間 Δt の間に
   Δθ = ωΔt (ラジアン)
だけ回転します。このときのコイル外周の移動距離 ΔW は、角度にコイル半径をかけた
  ΔW = r * ωΔt     ③
です。補足図の②に書かれたように、コイルの幅を L とすると(「1」と区別するため大文字で書きます)、この間にコイルの横切る面積は
  ΔS = ΔW * L
になります。これを、上と同じように「磁束線が通過する断面積」に換算しましょう。上では「面の角度」そのものが θ だったので、cosθ をかけました。ところが、今の場合には、この ΔS の面は「コイル外周の動いた面」なので磁束線と「パイ/2 - θ」の角度になっていることは分かりますか? つまり θ = 0 の付近ではこの ΔS の面はほとんど磁束線を横切らず、逆に θ = パイ/2 近くではほぼ ΔS の面全体で磁束線を横切ります。
 つまり、「磁束線が通過する断面積」は
  ΔS * sinθ = ΔW * L * sinθ   ④ 
なのです。
ここがポイントでしょうか。         (A)

従って、この断面積が横切る密度B の磁束線の本数ΔΦは
  ΔΦ = B * ΔS * sin(ωt)
になります。

③④を使えば
  ΔΦ = B * ΔS * sin(ωt) = B * ΔW * L * sin(ωt) = B * r * ωΔt * L * sin(ωt)
これより
  ΔΦ/Δt = B * r * ω * L * sin(ωt)
ここで
  r * L = S
と書けば
  ΔΦ/Δt = B * S * ω * sin(ωt)

ΔΦ/Δt = V と書けば
  V = B * S * ω * sin(ωt)
となって、No.1で書いたものに一致します。
  

補足の図や、「Bの直角成分」などと書かれているのは、上の(A)の説明をするためのもののような気がします。「コイルが単位時間に横切る磁束線の数」を求めるためのもののように思います。
ここは、上のような説明で納得いただけますか?
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この回答へのお礼

丁寧にどうもありがとうございます!やはり3式までは分かるのですがおっしゃる通り、

コイルの横切る面積ΔS=ΔW×L
π/2-θになる所

がポイントだと思います。ここが理解できればすんなり全体も理解できそうですがイメージが難しいです。
しかし何が何だか分からない状態から「ここが理解できれば分かる」ポイントを示していただいたのでとても助かりました。
何度も読み返しよく考えてみます。

お礼日時:2017/06/16 04:03

No.1です。

知らぬ間に「補足」が追加されていましたね。

この図では「その瞬間の座標」「その瞬間の角度」のことを言っているのか、「その時間変化である速度」「その時間変化である角速度」のことを言っているのかをよく考えてください。

ω は「角速度」ですから
 ω = dθ/dt
です。

従って
 rω = r * dθ/dt = 円周上の周速度
です。

その瞬間の θ の値は何の関係もありません。
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この回答へのお礼

申し訳ありません。ファラデーの法則より求める方法も分からない所があるのでごちゃごちゃしない為に別に質問します

お礼日時:2017/06/15 18:45

コイルの「面」をどっち向きにして回転させるのでしょうか。



「回転面」と「コイルの面」が同じなら、永遠に「コイル面が磁場に直角になる」ことはありません。
ということは、コイル面は回転の接線方向を向いているのでしょうね。

それであれば、コイル面を横切る磁束の数は
 Φ(t) = BS * cos(ωt)
でしょう。(初期条件が t=0 のとき「コイル面が磁場に直角」で Φ(0) = BS なので、sin ではなく cos になる)

ということで、
 V(t) = -dΦ/dt = BSω * sin(ωt)

>速度vのBに対する直角成分はrωcosωtという解説をどこかで聞いたのですが、

それが何の関係があるのですか? 
「速度」とは「座標の時間微分」ですね。

質点が、軸のまわりに半径 r で回転すれば、その座標は、回転中心を原点に
 x = r * cos(ωt)
 y = r * sin(ωt)
ですから、速度は
 vx = dx/dt = - r*ω*sin(ωt)
 vy = dy/dt = r*ω*cos(ωt)
です。
速度の y 成分は r*ω*cos(ωt) ですが?

sin か cos かは、初期条件で変わります。

>なぜcosωtとなるのでしょうか

意味不明です。上の場合なら、回転運動だからです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。かなり言葉足らずで申し訳ありませんでした。馬鹿な質問の仕方と今更気付きました。

補足の画像の図1のように回転しているコイルの起電力を考える時、ファラデーの法則よりe=-N(ΔΦ/Δt)から求める方法は分かるのですが
他の解説でe=Blvより求める方法が書いてあったのです。

まず導体棒が半径rで回転運動をしていると考えます


1本あたりの起電力はBlv、t秒後の速度のBの直角成分はrω×cosθ、θ=ωtなのでBlvに代入して
e=Blvcosωtとなり、それが2本なので2Blrωcosωtとなる

図2のように考えると
2r×l=面積Sなので
e=BSωcosωtとなる

という説明でしたが、なぜ速度の直角成分がrωcosθになるか分からないのです

お礼日時:2017/06/15 18:20

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