不等式の証明について。
このような問題で、(1)を与えられずに聞かれることはあるのですか?

「不等式の証明について。 このような問題で」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • やはり(2)だけでも解けるようにすべきですね…

      補足日時:2017/06/16 12:40

A 回答 (3件)

3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)


=3ax+3by+3cz-ax-ay-az-bx-by-bz-cx-cy-cz
=a(2x-y-z)+b(-x+2y-z)+c(-x-y+2z)
=a{(x-y)+(x-z)}+b{(y-x)+(y-z)}+c{(z-x)+(z-y)}
=a(x-y)-a(z-x)-b(x-y)+b(y-z)+c(z-x)-c(y-z)
=(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)

ここで、a≧b≧c, x≧y≧z であるから
a-b≧0, x-y≧0 よって (a-b)(x-y)≧0 ・・・・・ ①
b-c≧0, y-z≧0 よって (b-c)(y-z)≧0 ・・・・・ ②
c-a≦0, z-x≦0 よって (c-a)(z-x)≧0 ・・・・・ ③

これより
(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)≧0

よって
3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)≧0

したがって
(a+b+c)(x+y+z)≦3(ax+by+cz)

等号成立は、①、②、③より
(a=b または x=y) かつ (b=c または y=z) かつ (c=a または z=x)
つまり
a=b=c または x=y=z


(1) がなくて(2)だけで出題されることはあると思う。
この場合は、自分で(1)を証明しなければならない。
(1)を無理に使わなくても証明できるのでは?
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大学による。


よくあるのは(1)で不等式の証明をさせて、2問目で(1)の結果を使わせる問題を出すパターン。この場合は、もし1問目ができなくても、2問目で「(1)の結果より...」から始めて解けば、正解なら2問目の点数はもらえる。

難関大学になると、いきなり写真の(2)を解かせる場合もあり得る。これは(1)がなければ難問。
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「(1)を与えられずに」と云う事は


「a,b や x,y の条件無に」と云う事ですか。

有り得るでしょうね。
その場合は、条件を考慮しての回答になる筈ですね。
条件によっては、不等号の向きが変わりますから。
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この回答へのお礼

ふむ、難しいですね…

お礼日時:2017/06/15 21:32

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