ベクトルと閉曲面の問題

Question

ある閉曲面（例えば球）において、その閉曲面の表面を細かくし、微小面積の集合体として表現します（ポリゴンをつくるときのように、小さな四角形をはりあわせるようにして閉曲面をあらわす）。
　このときの微小面積をそれぞれベクトルとして表したとき、その総和はスカラーでの合計と違い、０になってしまうようです。
　なぜ閉曲面の表面積をベクトルであらわした場合、その合計は０となってしまうのか？その理由をどなたか詳しく教えていただけませんでしょうか。参考文献などがあれば、そのタイトルも教えていただけたら非常に光栄です！

siegmund · Accepted Answer

直感的にほぼ明らかと思いますが，
ちゃんとやるならガウスの発散定理の直接の帰結です．

ベクトル S を (→S) と書くことにします．
ガウスの発散定理は
(1)　　∫_V ∇・(→A) dv = ∫_S (→A)・d(→S)
です．
左辺は領域 V についての体積積分，右辺はその表面 S についての
面積分です．
∇はナブラ，∇・(→A) は div(→A) と同じことです．
もちろん，(1)の両辺ともスカラー．

お尋ねのものは
(2)　　∫_S d(→S)
というベクトル量ですが，その x 成分は
(3)　　∫_S (→i)・d(→S)
というスカラー量です．
(→i) は x 方向の単位ベクトル．
(3)は(1)の右辺で (→A) を (→i) としたものですが，
(→i) は定ベクトルですから当然 ∇・(→i)=0 です．
したがって
(4)　　∫_S (→i)・d(→S) = 0
が得られます．
全く同様にして，y 成分，z 成分もゼロであることがわかります．

以上より
(5)　　∫_S d(→S) = (→0)
右辺はベクトル量のゼロの意味です．

sakura_214 · Answer

> 微小面積をそれぞれベクトルとして表したとき、

これは「面積ベクトル」と言うものです．一般に面積ベクトルとは，大きさがその面の面積で，方向がその面の法線方向となるベクトルです．この場合，方向はその面に対して上下２方向がありますが，ここでは閉曲面に対して外向きになるように方向を選びます．

話を簡単にするために，何度も内側にめり込んだ複雑な形の閉曲面ではなく，球のような単純な閉曲面で考えます．この閉曲面にある方向から光をあてて垂直な面に投影すると，この面に閉曲面の影ができます．
tatuun8さんが考えたように閉曲面の表面を細かく分割し，微小面積の集合体として考えます．この時，ある１つの微小な面に対する面積ベクトルの大きさはその微小面の面積ですが，光の方向に対するこの面積ベクトルの成分の大きさは，ちょうどこの微小面がつくった影の面積になります．このように１つ１つ微小面について考えていくと，光が直接あたっている上半分の閉曲面に対して，その面積ベクトルの光の方向の成分の和は，閉曲面が作った影の面積そのものになります．同様に，光があたらない下半分の閉曲面に対して，その面積ベクトルの光の方向の成分の和も，閉曲面が作った影の面積そのものになります．ただし，両者はベクトルとして（射影ベクトルの方向）は，前者は上向きなのに対して後者は下向きなので，閉曲面全体で考えると，結局面積ベクトルの光の方向の成分の和はぴったり相殺しあって０となります．光をあてる方向を変えて，違う方向の面積ベクトルの成分を調べてもこの結果は同じなので，閉曲面全体の面積ベクトルの和は０であると導かれます．
何度も内側にめり込んだ複雑な形をした閉曲面でも原理は同じです．上の場合のように投影したベクトルが影に対して上下１枚ずつといった単純なものにはなりませんが，部分的に何枚折り重なろうとも閉曲面の影なので結局互いに相殺しあいます．または，別の考え方として，複雑な形をした閉曲面を部分部分に球のような単純な閉曲面に分割しても，新たに分割してできた面の面積ベクトルは２つ単純な閉曲面同士で互いに相殺しあうので，やはり面積ベクトルの和は０であると導かれます．


> 参考文献などがあれば、

「ベクトル解析」に属する分野ですが，この話はベクトル解析の本であるばたいてい書いてあります．初等的な証明方法は上で示したものをもう少し数学的に記述したものですが，原理さえわかれば理解できると思います．

ベクトルと閉曲面の問題

直感的にほぼ明らかと思いますが，

> 微小面積をそれぞれベクトルとして表したとき、

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