数学の問題についてです。

半径2Rの円C1の外側に半径Rの円C2が接している。C2がC1の周りを滑らずに1回転する際に、C2上の点Pが描く図形とC1で囲まれる部分の面積を求めなさい。

点Pが描く軌跡は分かるのですが、面積の求め方が分かりません。
どなたか分かる方よろしくお願い致します。

A 回答 (4件)

No.1さんのように、Pは、最初(0,2R)にあって、円C2は右に回っていくものとします。



点Pの軌跡は判るとのことですが、この設定の場合、Pの座標は、(3 R sinθ - R sin3θ, 3 R cosθ - R cos3θ)になりますが、大丈夫でしょうか。

求める面積をSとすると、図の対称性(第一象限部分のみを考えて、後で4倍すればいい)を踏まえると、

S/4 = ∫[x:0→2R]xdy

となります。で、積分変数をxからθに置換することを考えると、

x:0→2Rはθ:π/2→0ということで、また、xdy = x(dy/dθ)dθなので、dy/dθ=-3 R sinθ+3 R sin3θであることを踏まえると、結局、

S/4=∫[θ:π/2→0](3 R sinθ - R sin3θ)(-3 R sinθ+3 R sin3θ)dθ
=3 R^2 ∫[θ:0→π/2](3 sinθ - sin3θ)(sinθ - sin3θ)dθ
=3 R^2 ∫[θ:0→π/2](sin^2 3θ - 4 sinθsin3θ + 3 sin^2 θ)dθ
=3 R^2 π [←この定積分の計算は単純計算なので省略します]

∴S=12πR^2

ポイントは、面積は xdy の積分(長方形の面積であるx⊿yを寄せ集めるイメージ)で求められるので、それをθの積分に置換することです。
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No.2です。

訂正です。

C1の面積(4πR^2)を引かなければなりませんね。答は、12πR^2-4πR^2=8πR^2です。
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この回答へのお礼

すごく分かりやすくてモヤモヤが解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2017/06/19 10:43

No.2です。

書き忘れです。

θは、「y軸の正方向」と「2つの円の中心を結んだ線分」のなす角で、円C2が右に回って行くにつれて大きくなっていきます。
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ゴメン。


点Pがどこにプロットされているのか質問文から推測することができない。

ひょっとしてそれを見込んで求めろという事でしょうか。

・・・
推測できないことは無いんだけどね。
「囲まれる部分」とあるので動き出す前のC1とC2の接点部分だろうとは思う。
とりあえず図を貼っとくので「積分」できるルールを見つけてみよう。


・・・余談・・・
ペイントで描くの面倒w
「面積の問題」の回答画像1
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この回答へのお礼

絵まで作って下さり、ありがとうございます。
問題にも明記されていなかったので、私も接点をPとして考えていました。

お礼日時:2017/06/19 10:42

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