高校物理 近似についての質問です。

ある値に対して微小量を無視して考えることって、物理ではかなり多いですよね？
そこで質問なのですが、ある値に対して何桁くらい小さい値は近似的に無視しても良いのですか？考える現象によって様々だとは思いますが、三桁くらい小さな値は大概無視できると考えても良いと思いますか？
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

No.2 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/06/19 17:40

簡単に言うと、場合によりけりです(^^;)

ただ、物理の近似で共通している事は、近似する事で意味が無くなる様な近似はしないって事ですね(・o・)ノ
なかなか良い例が思いつきませんが、(1+x)^n を例にしましょう・・・ただし、x は大きさが十分小さい値とします(－＿－)
この式は、高校物理の問題で、(1+x)^n≒1+nx という近似式が出てくる場合がありますね(。・ω・。)
(1+x)^n の大まかな（？）値だけが問題ならば、(1+x)^n≒１ としてかまいません(-ω- )
しかし、x の”影響”を知りたければ（xの影響が問題となるならば）、(1+x)^n≒1+nx としなければなりません( ﾟAﾟ)ﾎｩ
例えば、
(1+x)^n － 1 のだいたいの値でいいならば、(1+x)^n － 1≒０　→しかし、xの影響が問題ならば、これは意味の無い近似になる
(1+x)^n － 1 のx の影響まで考慮すべきならば（したいならば）(1+x)^n － 1≒nx
となります( ,,-｀ ｡´-)ﾎﾎｫ～
具体的な数の場合も同様です(･д･)ﾎｫｰ
だいたいの値でよいなら
1/1.01≒1/1.001≒1/1.0001≒1/1.00001≒1/1=1　でかまいませんが、小数点以下の影響が知りたい（問題になる）ならば、
これは、キチンと計算して比較する必要があります(〃・ｏ・)

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/06/19 20:33

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/19 16:08

要求される精度から決まります。

たとえば、0.1％（1/1000）程度の精度で計算する場合には、
　x = A/B = 1/100
なら、x は無視できませんが、
　x^2 = (A/B)^2 = 1/10000
は無視してもよいことになります。

これが
　x = C/D = 1/10
なら、無視できるのは
　x^4 = (C/D)^4 = 1/10000
より高次の項ということになります。

計算する精度を 10^(-6) などに変えれば、無視してかまわない次数も変わります。

一般論としては、関数 f(x) は「テイラー展開」できて
　f(x) = f(a) + f'(a)*(x - a) + [ f''(a)/2! ]*(x - a)^2 + [ f'''(a)/3! ]*(x - a)^3 + ･･･
と書けます。（a=0 のときが「マクローリン展開」）
http://eman-physics.net/math/taylor.html
この (x - a) の何次以降を「無視するか」を判断することになります。

これを
　x - a = h → x = a + h
と書いて
　f(a + h) = f(a) + f'(a)*h + [ f''(a)/2! ]*h^2 + [ f'''(a)/3! ]*h^3 + ･･･
の方が考えやすいかもしれません。

h が「極めて」小さいときには、2次以降を無視して
　f(a + h) ≒ f(a) + f'(a)*h
とすることが多いですが、機械的にそうするのではなく、あくまで h の大きさと計算結果の「精度」を考慮して決めるということです。

こんなサイトも参考に。
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/taylorexp …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/06/19 20:34