この問題の解き方教えて下さい！

この問題の解き方教えて下さい！

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/06/22 03:51

f(x)=(cosx)^3　、g'(x)=sinx　とおくと、

f'(x)=-3(cosx)^2 ・sinx　、g(x)=-cosx　なので、
部分積分から
∫(cosx)^3 ・sinx dx =∫f(x)g'(x)dx
=f(x)g(x) -∫f'(x)g(x)dx
=(cosx)^3 ・(-cosx) -∫-3(cosx)^2 ・sinx・(-cosx) dx
=-(cosx)^4 -3∫(cosx)^3 ・sinx dx
よって、
∫(cosx)^3 ・sinx dx =-(cosx)^4 -3∫(cosx)^3 ・sinx dx
4∫(cosx)^3 ・sinx dx =-(cosx)^4
∫(cosx)^3 ・sinx dx =-1/4 ・(cosx)^4
積分定数をCとして、
∫(cosx)^3 ・sinx dx =-1/4 ・(cosx)^4 +C


＝別解＝
cosx=t とおくと、微分して-sinx =dt/dx
よって、dx=-1/sinx ・dt
置換積分を用いて
∫(cosx)^3 ・sinx dx =∫t^3 ・sinx・(-1/sinx)・dt
=-∫t^3 dt
=-1/4 ・t^4
=-1/4 ・(cosx)^4
積分定数をCとして、
∫(cosx)^3 ・sinx dx =-1/4 ・(cosx)^4 +C


理解できるほうで自分で確認してみてください。

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/21 22:47

ちなみに、

cos^nx を微分すると ncos^(n-1)x･(-sinx) になります。
　　　　　　　　　　～～～～～～～～～～
　　　　　　　　　　　　　　☝
　　この式を　cos^3x･sinx にするには、 n=□　にして、何倍すればよいですか？

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/06/21 22:45

cos(x)=tと置いて、置換積分してみたら？

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/06/21 22:37

答えは -1/4・(cosx)^4 になりますか？