連立方程式:

Ax=B
(A;係数行列、x;未知数、B;右辺行列)

において

detA = 0

であった場合、この解は一義的には定まらない
という事なのですが、
このことはSOR法などの反復法も
使えないと言うこと言ってるのですか?

detA = 0

の連立方程式はどうしても解けないのですか?

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A 回答 (2件)

●determinant が定義できるということはAは正方行列。

つまり未知の変数の数と式の数が丁度同じだけあるということですね。

●たとえば3つの変数を含み3つの式からなる連立一次方程式を考えましょう。それぞれの式は(x,y,z)の三次元空間における平面を表す。つまり第一の式に対応する平面というのは、その平面上の点がどれでも第一の式を満たす(解である)、そういう点の集合です。
 もしdeterminantが0でないならば、第一・第二の式の平面同士が交差する直線ができて、その直線と、第三の式の平面とが交差する点(x,y,z)。それが唯一の解になるわけです。

●で、determinantが0であるということは、Aは線形従属であることを表します。つまり、少なくとも1つの式は他の式の組み合わせで表せるということです。
たとえば x,y,zが実数であって
2 x + 3 y + 4 z = 15
3 x + 4 y + 5 z = 20
7 x + 10 y + 13 z = a
であれば、第三の式の左辺の係数は、('第一の式の2倍+第二の式)という線形従属関係にある。

すると2つの場合が考えられます。
(1) もしa = 35 (=10×2 + 15)であれば、第三の式は何も新しい情報を付け加えていない。第一の式と第二の式から必然的に分かることしか述べていない。だからこの式は無視して良い。そうすると、第一の式と第二の式を共に満たすような解(x,y,z)は無限個あって、どれでもよい。
 この場合、これら3本の式に対応する3枚の平面は同じ1本の直線で交差しています。従ってこの直線上のどの点であっても解になるわけです。こういうのを不定という。

(2) もしa≠35であれば、第三の式は、第一・第二の式と矛盾した事を述べている。従って、これら三本の式を同時に満たすような(x,y,z)は存在しません。
 3枚の平面は2枚ずつ組にして考えれば1本の直線で交わっている。つまり都合3本の直線がある。しかし、これらの3本の直線は平行であって、交差しない。だから、3つの平面が同時に交わるような点はありません。こういうのを不能という。

いずれにせよ、一通りの解(x,y,z)を得ることはできません。(1)の場合には解がないのでは無く、幾らでもある。(2)の場合には解がない。
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この回答へのお礼

ご丁寧に解答していただき
ありがとう御座いました。
また何かあればよろしくお願いします。

お礼日時:2001/07/03 09:58

A=


(a_11 a_12 …… a_1n)
(a_21 a_22 …… a_2n)
(…… ……    ……)
(a_n1 a_n2 …… a_nn)

B=
(b_1)
(b_2)
(… )
(b_n)

に対し、

A~=  (本当は~はAの上に書きます。)
(a_11 a_12 …… a_1n b_1)
(a_21 a_22 …… a_2n b_2)
(…… ……    …… … )
(a_n1 a_n2 …… a_nn b_n)

を拡大係数行列といいます。A~に対して左基本変形および最後の列以外の列の交換を何回か行うことによりA~は

B~=
(1 0 … 0 b_{1,r+1} … b_{1,n} d_1)
(0 1 … 0 b_{2,r+1} … b_{2,n} d_2)
(… … … … … … … … … … … )
(0 0 … 1 b_{r,r+1} … b_{r,n} d_r)
(0 0 … 0 0 … … … … … 0 d_r+1)
(… … … … … … … … … … … )
(0 0 … 0 0 … … … … … 0  d_n)

に変形する事が出来ます。この時、左上から右下に向かって連続して並んでる1の個数は行列Aの階数rです。

さて、方程式Ax = Bですが、この方程式はB~において

d_r = d_r+1 = … = d_n = 0

の時に限って解を持ちます。その時の一般解は α_r+1, α_r+2, … ,α_n を任意定数として

x_1 = d_1 - b_{1,r+1}*α_r+1 - … - b_{1,n}*α_n
x_2 = d_2 - b_{2,r+1}*α_r+1 - … - b_{2,n}*α_n

x_r = d_r - b_{r,r+1}*α_r+1 - … - b_{r,n}*α_n
x_r+1 = α_r+1
x_r+2 = α_r+2

x_n = α_n

として表されます。よって解が一意に決まる条件は r = n である事です。
r = n とはAが正則である事であり、即ち det A = 0 である事が必要十分条件です。

全部証明しているとかなり長くなっちゃうので結論だけ書きました。
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・・・冗談でも嫌味でもなく、本当に大事なところが抜けてしまっている・・・深刻です。

小学校の算数から中学の数学になったときに計算が大きく変わりましたね。
1) 引き算は、その数の負数を加えること。
  負数とはその数に加えると0になる数
2) 割り算は、その数の逆数をかけ合わせること・
  逆数はその数にかけると1になる数
・・・この二つのことで、未知数であっても初めて計算が自由に扱えるようになった。
 小学校では、5個×3=15本だったし、3-2≠2-3、2÷3=3÷2だったのが、
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3) 両辺が=の関係である時、両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない。
 2x - 4 = 6  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄★
すなわち
 2x + (-4) = 6
  両辺に 4を加えると
 2x + (-4) + 4 = 6 + 4
 2x = 10      結果であるテクニックとしての[移項]は知っている
  両辺に(1/2)をかける
 2x × (1/2) = 10 × (1/2)
  交換則で
 x × 2 ×(1/2) = 5
  x = 5

たったこれだけを中学一年で一年かけて徹底的に学んだはず・・・中学数学の半分はこれと言ってもよい。
底が抜けているので、いくら解き方を覚えても役には立たない。
 [移項]処理は、「両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない」ことの結果にしか過ぎない。その結果--解き方だけ覚えて、理数科でもっとも肝心な「理由」を身につけてこなかった---でしょ!!!

 だから連立方程式は、未知数を一つずつ消していくという「消去法」というテクニックしか身についていない。繰り返しますが、理科や数学は解き方をいくら覚えても、せいぜい、その時の試験しかパスしない。

例えば、
 a + b = 0
 b - a + c = 0
 a + c - 1 = 0
という式があったとします。どうやって解きますか?
掃き出し法で解いてみましょう。

1) まず、式を下記のように変形します。
  a + b   = 0  一番下の式を加え
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1

 2a + b + c = 1 中の式を引く
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1
★ 両辺が=の関係である時、両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない。
   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄★
  ここはわかりますか>>>だってすべての式は=で結ばれている。

 3a     = 1 3で割る
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1

  a     = 1/3
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1  一番上の式を引く

  a     = 1/3
 -a + b + c = 0  一番上の式を加えて
      c = 2/3

  a     = 1/3
    b + c = 1/3 一番下の式を引く
      c = 2/3

  a     = 1/3
    b   = -1/3
      c = 2/3

 これは「掃き出し法」と言われる解き方で、連立方程式を解く一番たくさん使われている方法です。特にコンピューターで計算しやすいためにコンピュータで解くときは100%この方法です。

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  1  1  0 = 0
 -1  1  1 = 0
  1  0  1 = 1

と書き直して、簡単にする方法を説明しています。

参考)これってどうやって解くんですか?? - 数学 | 教えて!goo( https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9194001.html )

 何度も繰り返しますが、「解き方」を覚えて、それを使って解くのではなく、なぜその方法で解けるのかを理解するようにしましょう。そうすれば、見たことない問題でも解けようになる。公式忘れたって公式をその場で作ればよい。

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Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
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b<x<2bでy=ab
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となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
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分数の連立方程式の解き方を教えてください。
 a=4500000+60000/260000b
 b=4250000+30000/180000a

Aベストアンサー

[問題] は
 a = 4500000 + (60000/260000)b
 b = 4250000 + (30000/180000)a
なのですね。

ならば、
 a = 4500000 + (60000/260000)b   (1)
   ↓ 代入して、
 b = 4250000 + (30000/180000)a
  =4250000 + (30000/180000){4500000 + (60000/260000)b}
を、まず解くのでしょう。

b の項を左に集めれば、
 b - (30000/180000)(60000/260000)b = 4250000 + (30000/180000)4500000
 b(25/26) = 4250000 + 750000 = 5000000
 b = 200000*26 = 5200000   (2)

ここで (1) へ戻り、
 a = 4500000 + (60000/260000)*5200000
  = 4500000 + 60000*20
  = 4500000 + 1200000
  = 5700000

…かな?
検算してみて頂戴。。
  

[問題] は
 a = 4500000 + (60000/260000)b
 b = 4250000 + (30000/180000)a
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 a = 4500000 + (60000/260000)b   (1)
   ↓ 代入して、
 b = 4250000 + (30000/180000)a
  =4250000 + (30000/180000){4500000 + (60000/260000)b}
を、まず解くのでしょう。

b の項を左に集めれば、
 b - (30000/180000)(60000/260000)b = 4250000 + (30000/180000)4500000
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下の式は150倍して変形します。
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 3600-2y+3y=4320
 y=4320-3600=720

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 x=1800-720=1080

x=1080、y=720です。

Qどうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a^2=b^2なのでしょうか?

なぜa>0, b>0のときだけa=b⇔a^2=b^2が成り立つのでしょうか?
それと、「a,bが実数のとき、a=b⇔a^2=b^2」や「a<0, b<0のときa=b⇔a^2=b^2」が成り立たないわけも教えてください。どう考えればいいのか分かりません。お願いします。

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まず、a=b→a^2=^は成り立ちますよね?
問題はa^2=b^2→a=bのときです。
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分数だから、ややこしく感じるのでしょうね。
上の式は両辺を15倍に、下に式は両辺を12倍してみて下さい。
①、② の様な整数の式になると思います。

3(2x+3y)=150ー5y ・・・①
9xー4(yー3)+12x=60 ・・・②

①を整理すると、6x+9y=150 ・・・③
②を整理すると、21x-4y=48 ・・・④

③、④ ここまでくれば、普通の連立方程式ですから
簡単に解けると思いますが。
 因みに、x=4,y=9 になると思いますが、計算は確認して下さいね。

Qy=-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t) (a>0,b>0)

y=-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t) (a>0,b>0)

yがある値をとる時のt(t>0)を算出したいのですが、
上記の式をt=・・・の式にすることはできるでしょうか?
実際にtを算出する時にはa,bに数値を当てはめて計算を行うのですが、
a,bの値を変えた場合のtも求めたいので、文字係数のままで式を変換したいのです。

どなたか解る方がいらっしゃいましたら、解答お願いいたします。


補足
上記の式は以下の式と単純化したものです。
もしできるならば、こちらの式でt=・・・にしていただけると助かります。

d-(c*b^2)/(a+b)^2-abct/(a+b)+((c*b^2)/(a+b)^2)*exp(-(a+b)t)=0
(a>0,b>0,c>0,d>0)

-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t)=b-(d*(a+b)^2)/bc
b-(d*(a+b)^2)/bc=y と置いて単純化しています。

計算ミス等ありましたらご指摘下さい。

Aベストアンサー

老婆心ながらシミュレーションなら、近似値ということでこういう方法で簡単に計算できますよ^w^
まぁ、方程式が超幾何方程式なので解は結局電卓をたたくしかないので近似値というとこに気を使う必要はないでしょう。


元の式が

s = y-a*t
s = b*exp(-ct)

という連立方程式にyを代入したうえでの解になることは述べました。ここで少し変数をいじって

s1(t) = y-a*t
s2(t) = b*exp(-ct)

と置きます。

s1(t)-s2(t)

を縦軸に、横軸をtとして絵画します。そのときt軸と曲線が交わるところが解です。
当たり前っちゃその通りですがw

グラフを書かないシミュレーション的な方法としては、t=n×Tという書き方に変えて、nがステップ、Tがステップ幅とみて
(s1(n×T)-s2(n×T))×(s1((n-1)×T)-s2((n-1)×T))<0
となるnを探し出すという手法でそのnをtに戻して導くという方法がシンプルでいいでしょう。

Q連立方程式の解き方

 0.8x-0.6y=6500
 
 0.4y-0.2x=1400

の連立方程式の解き方と途中式を教えて下さい。

Aベストアンサー

係数が小数のままだと計算を間違えやすいので、
両辺を10倍なり100倍なりすることにより桁を上げます。

0.8x-0.6y=6500
両辺を10倍すると
8x-6y=65000
両辺を2で割ります。
4x-3y=32500・・・※1

0.4y-0.2x=1400
両辺を10倍すると
4y-2x=14000
みやすいように項を入れ替えます。
-2x+4y=14000
両辺を2で割ります。
-x+2y=7000・・・※2

※1と※2の連立方程式となります。

ここでは加減法で解いてみます。
(※1)+4×(※2)
4x-3y=32500
-4x+8y=28000

5y=60500
y=12100

y=5500を※2に代入
-x+2*12100=7000
-x=-17200
x=17200

よってx=17200,y=12100・・・答え

別解)代入法で連立方程式を解く
※2よりx=2y-7000・・・※3
これを※1に代入
4(2y-7000)-3y=32500
8y-28000-3y=32500
5y=60500
y=12100
これを※3に代入すると
x=2*12100-7000=17200

係数が小数のままだと計算を間違えやすいので、
両辺を10倍なり100倍なりすることにより桁を上げます。

0.8x-0.6y=6500
両辺を10倍すると
8x-6y=65000
両辺を2で割ります。
4x-3y=32500・・・※1

0.4y-0.2x=1400
両辺を10倍すると
4y-2x=14000
みやすいように項を入れ替えます。
-2x+4y=14000
両辺を2で割ります。
-x+2y=7000・・・※2

※1と※2の連立方程式となります。

ここでは加減法で解いてみます。
(※1)+4×(※2)
4x-3y=32500
-4x+8y=28000

5y=60500
y=12100

y=5500を※2に代入
-x+2*12100=7000...続きを読む

Qa+b+c=2で、a>0,b>0,C>0

a+b+c=2で、a>0,b>0,C>0

のときに、a^3+b^3+c^3の最小値を出せ

という問題ってどうやってときますか?

僕が考えたのが、c=2-(a+b)を代入して、aとbそれぞれで平方完成を考えたのですが、式が複雑になります。スマートに解く方法てあるのですか?

Aベストアンサー

コーシーシュワルツの不等式を使うのは、禁じ手でしょうか。


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