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下の四角で囲ってある部分のx1=-5 x2=2
にどうしてなるのかが分かりません。

最近線形代数を勉強したばかりなので
詳しい解説お願い致します

「線形代数学 固有ベクトル」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • k ≠ 0 という断り書きが必要な理由はわかりません
    解説お願い致します。

      補足日時:2017/07/04 14:06

A 回答 (9件)

どうも 質問者さんの"質問者からの補足コメント"にあるk≠0という断り書きが必要な理由はわかりません。


 この質問コメントが混乱を招いているようですね。

 回答輩が言うことではありません。
 私もよく、先生に言われたものです。「わからなくなったら,定義に戻れ」と。
 調べると ありました。

一般に 1次変換Tと実数λについて
 T(→x)=λ(→x) かつ →x≠(→O)
を満たす→xが存在するとき、λをTの固有値、→xを固有値λに対応する固有ベクトルという。 (注 (→O)は零ベクトルのことです。)

質問 固有ベクトルを探すのが問題です。
   k=0でしたら(x1 x2) はどんなベクトルになるでしょうか。
   非自明解という言葉が使われているのも理解できますね。
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回答数は多いですが, 貴方にとって有益な回答は, たぶん皆無なのではないでしょうか.


その原因の 1 つとして, 貴方の質問の仕方が上手でないことを, 挙げざるを得ません.

x₁ = -5, x₂ = 2 になる理由が分からない, と書いていますが, なぜ x₁ = -5, x₂ = 2 だと思ったのですか.
四角で囲われた部分には, t[x₁ x₂] = k(t[-5 2]) と書かれているのであって, t[x₁ x₂] = t[-5 2] とは書かれていません.
そうなると, 「この質問者は, k(t[-5 2]) が何を表すか, 分かっているのだろうか」と疑う必要が出てきます.
「ベクトルのスカラー倍」というものを, 貴方は知っているのでしょうか.
t[-5 2] と k(t[-5 2]) がどう違うか, 分かっていますか.
また, k(t[-5 2]) = t[-5k 2k] であることが, 理解できていますか.

貴方がどこで躓いているのか十分に把握できないことが, 適切な回答を難しくしています.
質問を何回読み直しても, 貴方が新たに補足しない限り, 謎は謎のままで終わるでしょう.
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私以外は, 質問をきちんと読んでいないようですね.


x₁ = -5, x₂ = 2 になる理由といわれても, 四角で囲った部分に, そんなことは書かれていません.
ただし, k = 1 ならば, x₁ = -5, x₂ = 2 になりますが.
要するに, t[-5 2] は, 固有値 -1 に対する固有ベクトルの一例です.

しかし, そんなことは, 実はどうでもいいことだと思われます.
質問者の本当の疑問は, 線型代数とまったく関係ない内容だと推測されるので.
つまり,
x₁, x₂ が 2x₁ + 5x₂ = 0 という関係を満たすとき, t[x₁ x₂] = k(t[-5 2]) とおけるのはなぜか
ということでしょう.
これは高校数学か, もしかしたら中学数学で扱う内容.
線型代数を学ぶ人であれば, 自力で解決するしかない, といえます.
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ANo.5 で書いたことに, ちょっとだけ付け足し.



ときどき見かけるのですが, 例えば, 3^0 = 1 であることを
「証明してください」とか「簡単に証明できます」とか「中学のとき, 数学の先生が授業で証明してくれました」
などという発言は, どれも勘違いに支えられているものです.
つまり, 「3^0 = 1 である理由」と「3^0 の値を 1 と定めるのが合理的な理由」を, 完全に混同しています.

今回の問題に戻って考えると,
「自明解が固有ベクトルでない理由」と「自明解を固有ベクトルと見なさないのが合理的な理由」は, やはり違います.

質問者様は, 最近になって数学の勉強を始めたばかりということですので, どうか参考にしてください.
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これは「固有ベクトルを求めよ」という問題であって, 「非自明解を求めよ」という問題ではない.


k ≠ 0 でなければならない理由は, 零ベクトルは固有ベクトルと見なされないからであって, k = 0 だと自明解になるからではない.
「自明解では, なぜいけないのか」に関しては, きちんとした説明が必要だ.

数学カテゴリで回答するなら, 数学に関してある程度の知識が要求されるのは当然で, 「知識はないが, 回答はしたい」という人が多いのは, 深刻な問題かもしれない.
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k = 0 とすると自明な解になってしまいます。


いま自明な解とは別の解を求めているので、k ≠ 0 となると思います。
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k = 0 とすると t[x₁ x₂] = k(t[-5 2]) = t[0 0] となり, 固有ベクトルといえなくなるからです.


この説明がよく分からなければ, 固有ベクトルの定義を教科書で確認してください.
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四角で囲われている部分には,


x₁ = -5 などとは書かれていないし, x₂ = 2 とも書かれていません.

ところで, k ≠ 0 という断り書きが必要な理由は, 理解できていますか.
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λ = -1 のとき


2(x1) + 5(x2) = 0 を満たすとき、x1 = -5k と置いてみると、x2 = 2k になります。(x1, x2) = (-5k, 2k)

λ = 6 のときは、-5(x1) + 5(x2) = 0, 2(x1) - 2(x2) = 0 なので、x1 - x2 = 0 を満たすものを探します。
x1 = k と置いてみると、x2 = k であれば、x1 - x2 = 0 を満たすので、(x1, x2) = (k, k) となります。
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