高校数学です！ (2)を詳しく解説お願いします！ やり方、途中式、お願いしたいです！

高校数学です！
(2)を詳しく解説お願いします！
やり方、途中式、お願いしたいです！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/11 16:56

三角形の面積は、例えば

　S = (1/2) * BC * AB*sinB
で求められるのは分かりますね？　「AB*sinB」が、底辺 BC に対する「高さ」になりますから。

ということで、同じ角を共有していれば
　△ABC = (1/2) * BC * AB*sinB
　△FBD = (1/2) * BD * FB*sinB
なので、面積比は
　△ABC : △FBD = AB * BC : FB * BD　　①
となります。

同様に
　△BCA : △DCE = BC * CA : DC * CE　　②
　△CAB : △EAF = CA * AB : EA * AF　　③

ここで、
　AB * BC : FB * BD = 2*3 : (2 - 2k)*3k = 1 : k(1 - k)
　BC * CA : DC * CE = 3*2 : (3 - 3k)*2k = 1 : k(1 - k)
　CA * AB : EA * AF = 2*2 : (2 - 2k)*2k = 1 : k(1 - k)
なので、①②③より
　△ABC : △FBD = 1 : k(1 - k)　→　△FBD = k(1 - k)*△ABC
　△BCA : △DCE = 1 : k(1 - k)　→　△DCE = k(1 - k)*△ABC
　△CAB : △EAF = 1 : k(1 - k)　→　△EAF = k(1 - k)*△ABC

これより
　△DEF = △ABC - △FBD - △DCE - △EAF
　　　　= △ABC - 3k(1 - k)*△ABC
　　　　= △ABC * (1 - 3k + 3k^2)
　　　　= △ABC * [ 3(k - 1/2)^2 + 1/4 ]
よって、これが最小となるのは
　k = 1/2
のときで、そのとき
　△DEF = (1/4) * △ABC 　　　④

△ABC の面積は、二等辺三角形であることから、BC に対する高さ h は
　2^2 = 1.5^2 + h^2
より
　h^2 = 4 - 2.25 = 1.75
従って
　△ABC = (1/2) * 3 * √(1.75) = (3/8)√7

よって、④から
　△DEF = (3/32)√7

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/07/11 14:27

△DEF=△ABC－△AFE－△BDF－△CED

を計算すればｋの２次式だから（ｋの範囲は０＜ｋ＜１）
平方完成して最小値を求めればよい。

ちなみに、
△BDF：△ABC＝３ｋ･(２－２ｋ)＝３･２　より
△BDF=ｋ(１－ｋ)△ABC