恒等式の割り算について
整式P(x)をx^2+x-6およびx^2-x-2で割った余りがそれぞれ4x+5およびax+1であるとする。ただしaは定数とする。

(1)aの値を求めよ。

(2)P(x)をx^3+2x^2-5x-6 で割った余りを求めよ。

この問題の式をたてたところ、式の数が気になって色々やっていくうちに

x^2+x-6 + 4x+5 = x^2+5x-1
x^2-x-2 + ax+1 = x^2+(a-1)x-1

という値になり係数比較でa=6(問11(1)の答えも6)

x^2+5x-1の式が (問11(2)の答え)一致していました。

たんなる偶然でしょうが、何か関係性がありそうだったら教えて欲しいです。

「恒等式の割り算について 整式P(x)をx」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • kuroki55さん
    すいません、よくわかりません...

      補足日時:2017/07/12 11:45

A 回答 (5件)

貴方のやり方は、


(1)'=(x+3)(xー2)+4x+5
(2)'=(x+1)(xー2)+ax+1

(1)'/(xー2)=x+3+{4(xー2)+5+8}/(xー2) =x+7+13/(xー2)
(2)'/(xー2)=x+1+{a(xー2)+1+2a}/(xー2)=x+1+a+(1+2a)/(xー2)
となり
私の解答で、p(2)=13=2a+1 からa=6 がでてきたのと同じ過程だからでしょう!
そして、7=1+aが成立したため同じ結果になったからでしょう!
でも、繰り返しですが、試行錯誤の結果であっても、理論上の説明ができなければ
偶々になりますし、この場合は、成立しない例をあげることで解決です!
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1) x^2+xー6=(x+3)(xー2) ,x^2ーxー2=(x+1)(xー2) より


P(x)= (x+3)(xー2)Q1(x)+4x+5 …(1)
= (x+1)(xー2)Q2(x)+ax+1 …(2)
P(2)=2・4+5=13=2a+1
∴ a=6 …Ans1

2) x^3+2x^2ー5xー6=(xー2)(x+3)(x+1) より
(∵ 例えば x=2を代入すると0になるから)
P(x)=(xー2)(x+3)(x+1)Q3(x)+bx^2+cx+d とおけるから
P(2)=4b+2c+d=4・2+5=13 …(3)
P(ー3)=9bー3c+d=4・(ー3)+5=ー7 …(4)
P(ー1)=bーc+d=6・(ー1)+1=ー5 …(5)
(3)ー(4)より 3b+3c=18
∴ b+c=6 ∴ c=6ーb …(6)
(5)ー(4)より
8bー2c=ー7ー(ー5)=ー2
(6)を代入すると、b=1
よって、c=5 ,d=ー1
従って、余りは x^2+5xー1 …Ans2

さて、本題に入ると、確かに問題を解くにあたり、試行錯誤をして解答を求める
わけですが、答えよりも、その過程においての理論がなくてはなりません!
つまり、式をたてるにあたり、その説明ができないといけません!
ですが、この方法では、その理由がありませんし、実際No2の言われているように
数学は全ての場合において成り立たなければなりません!という厳密性が要求されます。
ですから、偶々と言わざるをえません!
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No.1です。


P(x)=(x^2+x-6)(x^2-x-1)S(x)+kx^3+lx^2+mx+n・・・(ア)と置く
(kx^3+lx^2+mx+n)/(x^2+x-6)の商を(bx+c)と置くと
kx^3+lx^2+mx+n=(x^2+x-6)(bx+c)+(4x+5)・・・・・・(イ)
(kx^3+lx^2+mx+n)/(x^2-x-2)の商を(dx+e)と置くと
kx^3+lx^2+mx+n=(x^2-x-2)(dx+e)+(ax+1)・・・・・・・(ウ)
(イ)と(ウ)より
(x^2+x-6)(bx+c)+(4x+5)=(x^2-x-2)(dx+e)+(ax+1)
係数を比較してa~eを求めます。

(2)は
P(x)=(x^2+x-6)Q(x)+4x+5=(x-2)(x+3)Q(x)+4x+5・・・・・・・(エ)
P(x)=(x^2-x-2)R(x)+ax+1=(x-2)(x+1)R(x)+ax+1・・・・・・・・(オ)
P(x)=(x^3+2x^2-5x-6)T(x)+fx^2+gx+h
=(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h・・・・・・・・・・・・・(カ)
(エ)と(カ)より
(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h=(x-2)(x+3)Q(x)+4x+5
fx^2+gx+h-4x-5=(x-2){(x+3)Q(x)-(x+3)(x+1)T(x)}
従って左辺は(x-2)で割り切れる
同様に(オ)と(カ)より
(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h=(x-2)(x+1)R(x)+ax+1
fx^2+gx+h-ax-1=(x-2){(x-1)R(x)-(x+3)(x+1)T(x)}
従って左辺は(x-2)で割り切れる
実際に割って、余り=0としてf,g,hを求めます。
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p(x)=x²-1として


x-2で割った余りが3
x-3で割った余りが8

これを使っても(x-2)+3 ≠ (x-3)+8

だから成立しない。
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