質問です。水平面とのなす角度がθである斜面があり、その上を運動する物体と斜面の間の動摩擦係数μとする。物体を斜面にそって上方にちょうど距離Dだけ滑らせるためにはどれだけの初速度で物体を投射しなくてはならないか。「非保存力のした仕事が、物体の力学的エネルギーの変化に等しい。」という事実を用いることにより解け。お願いします。

A 回答 (3件)

ここでの「非保存力」とは「動摩擦力」のことです。



(a) 初速度での運動エネルギー
 Ek0 = (1/2)*m*v0^2

(b) 最高点での位置エネルギーの増加
 Ep1 = mg*D*sinθ

(c) 最高点での運動エネルギー
 Ek1 = 0

(d) 動摩擦力は、
 -μmg*cosθ
なので、この力がした仕事は「力 × 動かした距離」で
 W1 = D * μmg*cosθ

以上の関係から
 W1 = Ek0 - (Ek1 + Ep1)
を使って
 D * μmg*cosθ = (1/2)*m*v0^2 - mg*D*sinθ
よって
 D * ( μmg*cosθ + mg*D*sinθ ) = (1/2)*m*v0^2
→ D = (1/2)*v0^2 / ( μg*cosθ + g*sinθ )


一般的な解き方では、働く力は「鉛直下向きの重力」なので
・重力の斜面下方向の成分: -mg*sinθ
・動摩擦力:-μmg*cosθ
より、斜面方向への初速度を v0 とすれば
 ・斜面方向の加速度 a = -g*sinθ - μg*cosθ   ①
 ・斜面方向の速度 v(t) = v0 - g*(sinθ + μ*cosθ)*t  ②
 ・斜面方向の変位 x(t) = v0*t - (1/2)*g*(sinθ + μ*cosθ)*t^2  ③

斜面上の最高点で静止するのは、② で v=0 より
 t = v0 / [ g*(sinθ + μ*cosθ) ]
のとき。このときの変位は、③より
 x = v0^2 / [ g*(sinθ + μ*cosθ) ] - (1/2)*v0^2 / [ g*(sinθ + μ*cosθ) ]
  = (1/2)*v0^2 / [ g*(sinθ + μ*cosθ) ]
従って、
 D = (1/2)*v0^2 / [ g*(sinθ + μ*cosθ) ]

当然ながら、両者は一致します。
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仕事の定義は


(物体の進む距離)×(物体に働く力)
で、物体の進行方向に働く力は正で、反対向きなら負です。
^2,^(1/2)は2乗、2分の1乗を示します。
求める初速度をvとし、物体の質量をmとおく。
この際の非保存力とは、摩擦のことで、摩擦による
仕事の絶対値はD・mgμcosθ
物体の力学的エネルギーの変化は、
(1/2)mv^2-mgDsinθ
よって、摩擦力のした仕事の分だけ物体の力学的エネルギーが変化したため、
(1/2)mv^2-mgDsinθ=D・mgμcosθ
v={2gD(sinθ+2μcosθ)}^(1/2)
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考え方はこんな感じです。



あとはv_0について解くだけです。
「質問です。水平面とのなす角度がθである斜」の回答画像1
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