No.3
- 回答日時:
>>本問の正解は、3つなのですが、それは、(5,1)、(1,5)は同じ組と考えるからでしょうか。
(2,3),(3,2)も同じと考えてるようです。
組では無くm,nを聞いてるのなら5セット。
また、解の数を聞いてるのなら、1,2,3,5の4個。
元々の問題文が「mnのセットを聞いてるのか、解の個数を聞いてるのか、
mの個数+nの個数を聞いてるのか」、実に曖昧なんです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
整数解をx=a,bとする。
但し、a≦bと仮定。解と係数の関係から
a+b=mn …①
ab=m+n …②
m,nが自然数なので
ab≧2 …③
ここでトリッキーだけど、(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=a+b-ab+1
=-(a-1)(b-1)+2 …④
m,nは自然数なので、m-1≧0かつn-1≧0。
∴0≦(m-1)(n-1)=-(a-1)(b-1)+2
∴(a-1)(b-1)≦2 …⑤
③かつ⑤を解く。
1.a>0(の整数)の場合
a≧1なので、③よりb≧2/a 。
従って、⑤を満たす(a,b)は下記i~iiiのいずれか。
i (a=1)かつ(b≧2)
ii (a=2)かつ(3≧b≧1)
iii (a=3)かつ(2≧b≧1)
iの場合、④より(m-1)(n-1)=2となるので、
(m,n)=(3,2)(2,3)となるけど、①②より
1+b=mn=6
b=m+n=5
となるので、b=5に決まり。
iiの場合、
a≦bを満たす解は(a,b)=(2,2)(2,3)。
(a,b)=(2,2)の時、④より(m-1)(n-1)=1となるので、
(m,n)=(2,2)。
一方、(a,b)=(2,3)の時、④より(m-1)(n-1)=0となるので
m=1またはn=1。
また、①②より
5=mn
6=m+n
なので、(m,n)=(5,1)(1,5)。
iiiの場合、
a≦bを満たす解は無し。
2.a=0の場合
③を満たさないので不適。
3.a<0(の整数)の場合
a≦-1(a-1≦-2)なので、③よりb≦2/a <0。
∴b-1 <-1。
∴(a-1)(b-1)>2
これは⑤を満たさないので不適。
以上より、
(m,n)=(5,1)(3,2)(2,2)(2,3)(1,5)
No.1
- 回答日時:
2つの解をa,bとすると、
(x-a)(x-b)=0
x^2-(a+b)x+ab=0
これが、x^2-mnx+m+n=0 になるから、
a+b=mn ・・・・・ ①
ab=m+n ・・・・・ ② (①、②は解と係数の関係を使ってもよい)
②-① より
ab-(a+b)=m+n-mn
ab-a-b=-(mn-m-n)
(a-1)(b-1)-1=-(m-1)(n-1)+1
(a-1)(b-1)+(m-1)(n-1)=2 ・・・・・ ③
m, n は自然数だから、①、②より 整数a, b は自然数になる。
よって、
(a-1)(b-1)≧0、(m-1)(n-1)≧0
これより、③を満たす (a-1)(b-1), (m-1)(n-1) の組は、
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), (1, 1), (2, 0)
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), のとき (a, b, m, n)=(1, 5, 2, 3), (1, 5, 3, 2), (5, 1, 2, 3), (5, 1, 3, 2) の4通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(1, 1), のとき (a, b, m, n)=(2, 2, 2, 2) の1通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(2, 0), のとき (a, b, m, n)=(2, 3, 1, 5), (2, 3, 5, 1), (3, 2, 1, 5), (3, 2, 5, 1) の4通り
したがって、
4+1+4=9 (通り)
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